Auflösbare Gruppen der Ordnung 2p^k

Question

Aufgabe:

Man sollte zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 2p^k ist auflösbar. (k \in ℤ_>0 und p Prim).

Problem/Ansatz:

Ich weiß dass jede Gruppe der Ordnung p^k ist auflösbar aber ich weiß nicht wie kann man folgern dass für 2p^k auch gilt.

Answer 1

Sei \(G\) die in Rede stehende Gruppe.

Ist \(p=2\), so hat die Gruppe die Ordnung \(p^{k+1}\),

ist also nach dir bekanntem Satz auflösbar.

Ist \(p\neq 2\), dann existiert eine \(p\)-Sylowunterguppe

\(H\subset G\) der Ordnung \(p^k\). Diese hat den Index 2 in \(G\)

und ist daher ein Normalteiler. Hieraus kannst du

schließen, dass \(G\) auflösbar ist:

\(H\) auflösbar und \(G/H\) auflösbar \(\Rightarrow G\) auflösbar.