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Gesucht sind die Primzahlen p mit 2p + 1 = k^3. Dabei ist k eine natürliche Zahl. Beweisen Sie ihr Ergebnis.

Stehe voll auf dem Schlauch.

von

Dann nenn mal ein paar...

3 Antworten

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Beste Antwort

hallo etham,

bevor Du verzweifelst: rechne \(p\) doch einfach aus, indem Du die Gleichung umstellst. Aus \(2p+1=k^3\) folgt

$$p=\frac{k^3-1}{2}$$

Nun ist jede Primzahl aber auch eine ganze Zahl und folglich geht obige Gleichung nur auf, wenn \(k^3-1\) gerade bzw. \(k^3\) und damit \(k\) ungerade ist. Folglich kann man für \(k\) schreiben:

$$k=2n+1 \quad n \in \mathbb{N}_0$$

Einsetzen in die Gleichung für \(p\) gibt

$$p=\frac{(2n+1)^3-1}{2}=4n^3 + 6n^2 + 3n = (4n^2 + 6n + 3) \cdot n$$

und wenn \(n>1\) ist, kann \(p\) nie eine Primzahl sein, da \(p\) dann durch \(n\) teilbar ist. Bleibt nur \(n=1\), da \(n=0\) auch ausscheidet. Mit \(n=1\) wird \(k=3\) und \(p=13\) als einzige Primzahl, die obige Gleichung erfüllt.

von 15 k

Suuuper Klasse erklärt, danke!

+3 Daumen

Tipp:

2p=k^3-1=(k-1)(k^2+k+1)

von 29 k

Puh das sieht ja noch schwerer aus als die orginal Aufgabge

Erstmal in Ruhe nachdenken ;)

Wenn p eine Primzahl ist, dann kann man p nicht mit kleineren Zahlen faktorisieren.

Also kann man oben einen Koeffizienten vergleich anstellen.

Einer der beiden Faktoren muss =2 sein, der andere =p.Da bleibt nur die Option (k-1)=2

Daraus folgt k=3

Nun noch p ausrechnen und fertig :)

Da würde ich zwar nie drauf kommen, das so zu faktorisieren aber super Antwort

+1 Punkt

Die kleinste derartige Zahl ist p=13. Vielleicht hilft das?

von 47 k

Ich weiß nicht. Ich glaube es sind mehr gesucht.

Es sind alle gesucht!

Es ist tatsächlich nur eine. Wer hätte das gedacht

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