Verlauf des Graphen durch Punkte einer Exponentialfunktion

Question

Aufgabe:

Von welcher Exponentialfunktion f(x)= c*a^x verläuft der Graph durch

a) P(-1|0.75) und Q(0.5|6)

b) (2|1,125) und Q(-3|40)

c) P(0.5|Wurzel(2)) und Q(1.5| 3* Wurzel(2))

Problem/Ansatz:

Ich würde beide Punkte in die Funktionsgleichung einsetzen

0.75=c*a^{-1}

6= c*a^0.5

Und jetzt?

Answer 1

Dann hast du ein Gleichungssystem, welches du z.B. mittels Gleichsetzungsverfahren lösen kannst.

0.75 = c * a^-1 → c = 0.75·a

6 = c·a^0.5
6 = (0.75·a)·a^0.5 --> a = 4

c = 0.75·(4) = 3

Also

f(x) = 3·4^x

Answer 2

Aloha :)

Da wir hier 3-mal dieselbe Vorgehensweise haben, wählen wir \(P(p_1|p_2)\) und \(Q(q_1|q_2)\) allgemein und überlegen, wie die Parameter \(a\) und \(c\) aussehen müssen, damit beide Punkte auf \(f(x)=ca^x\) liegen.

Wir haben zwei Bestimmungsgleichungen$$p_2=f(p_1)=ca^{p_1}\quad;\quad q_2=f(q_1)=ca^{q_1}$$aus denen wir nun folgern:$$\frac{p_2}{q_2}=\frac{ca^{p_1}}{ca^{q_1}}=a^{p_1-q_1}\quad\implies\quad \pink{a=\left(\frac{p_2}{q_2}\right)^{\frac{1}{p_1-q_1}}}$$$$p_2=f(p_1)=ca^{p_1}\quad\implies\quad \pink{c=\frac{p_2}{a^{p_1}}}$$

Wenn du die Punkte einsetzt, solltest du folgendes Ergebnis erhalten:$$f_a(x)=3\cdot4^x\quad;\quad f_b(x)\approx 4,6937\cdot0,4896^x\quad;\quad f_c(x)\approx0,8165\cdot3^x$$