Mehrdimensionale Kettenregel Jacobimatrix

Question

Aufgabe:

$$\text{Gebe für} \ f(x_1,x_2)=(x_1+x_2,x_1-x_2)  \quad und \quad g(y_1,y_2)=(y_1+y_2,y_1-y_2,y_1*y_2)\\\text{die Verkettung } \quad h=g\circ f \quad\text {explizit an.}\text{ Bestimme  die Jacobimatrix Dh direkt und mit Hilfe der Kettenregel. }$$

Comments

Hallo

ich vermisse deine Versuche oder konkrete Frage f von R^2 nach R^2. g von R^2 nach R^3 deshalb was soll f(g(y1,y2)sein f kann R^3 nicht abbilden.

lul

Answer 1

Aloha :)

Folgende Funktionen sind bekannt:$$\vec f(x_1;x_2)=\binom{x_1+x_2}{x_1-x_2}\quad;\quad\vec g(y_1;y_2)=\begin{pmatrix}y_1+y_2\\y_1-y_2\\y_1y_2\end{pmatrix}$$

Die verkettete Funktion \(h\) lautet daher:$$\vec h(x_1;x_2)=(g\circ f)(x_1;x_2)=g(\;f(x_1;x_2)\;)=g(\,f_1(x_1;x_2);f_2(x_1;x_2)\;)$$$$\phantom{h(x_1;x_2)}=g(x_1+x_2;x_1-x_2)=\begin{pmatrix}(x_1+x_2)+(x_1-x_2)\\(x_1+x_2)-(x_1-x_2)\\(x_1+x_2)(x_1-x_2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2x_1\\2x_2\\x_1^2-x_2^2\end{pmatrix}$$

Die Jacobi-Matrix enthält die Gradienten der Komponenten-Funktionen als Zeilenvektoren:$$J_h(x_1;x_2)=\left(\begin{array}{c}\operatorname{grad}h_1(x_1;x_2)\\\operatorname{grad}h_2(x_1;x_2)\\\operatorname{grad}h_3(x_1;x_2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\0 & 2\\2x_1 & -2x_2\end{array}\right)$$

Mit Hilfe der Kettenregel sähe die Rechnung so aus:$$J_h(x_1;x_2)=J_g(\vec y=\vec f(\vec x))\cdot J_f(\vec x)$$$$\phantom{J_h(x_1;x_2)}=J_g(\;y_1=f_1(x_1;x_2)\,;\,y_2=f_2(x_1;x_2)\;)\cdot J_f(x_1;x_2)$$$$\phantom{J_h(x_1;x_2)}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & -1\\y_2 & y_1\end{array}\right)_{(y_1;y_2)=(x_1+x_2;x_1-x_2)}\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & -1\end{array}\right)$$$$\phantom{J_h(x_1;x_2)}=\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & -1\\x_1-x_2 & x_1+x_2\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rr}1 & 1\\1 & -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2 & 0\\0 & 2\\2x_1 & -2x_2\end{array}\right)$$