Aufgabe:
Zur Approximation der bestimmten Integrale
I(f) : =−1∫+1f(x)dx
bei stetiger Funktion f : [−1,+1]→R soll die Quadraturformel
J(f) : =αf(−η)+βf(η)
mit Gewichten α,β∈R und Knoten η,−η∈[−1,1] mit η=0 verwendet werden.
a) Bestimmen Sie die Gewichte für festes η derart, dass die Quadraturformel exakt ist für alle Polynome vom Grad kleinergleich 1.
c) Sei η=21 und f zweimal stetig differenzierbar. Leiten Sie mit der Restgliedformel der Polynominterpolation eine Abschätzung
∣I(f)−J(f)∣≤Cmaxx∈[−1,1]∣f′′(x)∣
her, worin die Konstante C>0 möglichst klein sein soll. Die Konstante C soll als Zahlwert (Bruch) angegeben werden.
Problem/Ansatz:
Hallo zusammen, könnte mir jemand bitte dabei helfen?
Zu a): Ich habe jetzt zwei Gleichungen:
(1) alpha + beta = 2
(2) -alpha*eta +beta*eta = 0
Aus (2) folgt dass alpha = beta. Wenn wir das in (1) einsetzen folgt dass alpha = beta = 1 ist.
Jetzt setze ich die Werte in (2) ein: -eta + eta = 0. Aber eta sollte nicht gleich 0 sein.
Wie bestimme ich eta?