Ich kann Dir dazu aktuell nur sagen, dass das Gleichungssystem, das erfüllt sein müsste für Exaktheit für alle Polynome vom Grad \(\le 6\) (das ja 7 Gleichungen mit 6 Unbekannten hat) nicht lösbar ist (laut wolframalpha). Das muss man halt nachweisen, irgendwie...
Meine Lösung :
Um zu zeigen, dass die Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein kann, müssen wir ein Polynom \( p(x) \) mit Grad höchstens 6 finden, für das die Quadraturformel \( \tilde{J}(p) \) nicht den exakten Wert des Integrals \( I(p) \) liefert.
Die Quadraturformel \( \tilde{J}(f) \) lautet:
\[\tilde{J}(f) = \tilde{\alpha}_{1} f(\tilde{x}_{1}) + \tilde{\alpha}_{2} f(\tilde{x}_{2}) + \tilde{\alpha}_{3} f(\tilde{x}_{3})\]
Angenommen, die Quadraturformel \( \tilde{J} \) wäre exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6. Dann wäre \( \tilde{J}(p) \) für jedes solche Polynom \( p(x) \) gleich dem exakten Wert des Integrals \( I(p) \):
$$ \tilde{J}(p) = I(p) \quad \text{für alle Polynome } p(x) \text{ mit Grad höchstens 6} $$
Wir wählen nun ein spezielles Polynom \( p(x) \) mit Grad höchstens 6 aus, für das das Integral \( I(p) \) einfach berechenbar ist. Ein einfaches Beispiel dafür ist das Polynom \( p(x) = x^6 \). Nun berechnen wir das Integral \( I(p) \):
$$ I(p) = \int_{-1}^{+1} (|x| + 1) \cdot x^6 \, dx $$
Zur Berechnung des Integrals betrachten wir den Integranden \( (|x| + 1) \cdot x^6 \) für \( x \in [-1, 0] \) und \( x \in [0, 1] \) separat:
Für \( x \in [-1, 0] \) ist \( |x| = -x \), also:
$$ (|x| + 1) \cdot x^6 = (-x + 1) \cdot x^6 = -x^7 + x^6 $$
Für \( x \in [0, 1] \) ist \( |x| = x \), also:
$$ (|x| + 1) \cdot x^6 = (x + 1) \cdot x^6 = x^7 + x^6 $$
Jetzt berechnen wir das Integral \( I(p) \) für beide Intervalle und addieren die Ergebnisse:
$$ I(p) = \int_{-1}^{0} (-x^7 + x^6) \, dx + \int_{0}^{1} (x^7 + x^6) \, dx $$
Die Integration ergibt:
$$ I(p) = \left[ -\frac{1}{8}x^8 + \frac{1}{7}x^7 \right]_{-1}^0 + \left[ \frac{1}{8}x^8 + \frac{1}{7}x^7 \right]_{0}^1 $$
$$ I(p) = \left( -\frac{1}{8}(0)^8 + \frac{1}{7}(0)^7 \right) - \left( -\frac{1}{8}(-1)^8 + \frac{1}{7}(-1)^7 \right) + \left( \frac{1}{8}(1)^8 + \frac{1}{7}(1)^7 \right) - \left( \frac{1}{8}(0)^8 + \frac{1}{7}(0)^7 \right) $$
$$ I(p) = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4} $$
Nun betrachten wir die Quadraturformel \( \tilde{J} \) mit den neuen Knoten und Gewichten und berechnen \( \tilde{J}(p) \):
$$ \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{1} p(\tilde{x}_{1}) + \tilde{\alpha}_{2} p(\tilde{x}_{2}) + \tilde{\alpha}_{3} p(\tilde{x}_{3}) $$
Da \( p(x) = x^6 \), haben wir:
$$ \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{1} \tilde{x}_{1}^6 + \tilde{\alpha}_{2} \tilde{x}_{2}^6 + \tilde{\alpha}_{3} \tilde{x}_{3}^6 $$
Angenommen, die Quadraturformel \( \tilde{J} \) wäre exakt für \( p(x) = x^6 \), dann müsste \( \tilde{J}(p) \) den gleichen Wert wie \( I(p) \) haben:
$$ \tilde{J}(p) = I(p) = \frac{1}{4} $$
Jetzt wählen wir jedoch spezielle Knoten und Gewichte für \( \tilde{J} \), so dass das Integral \( I(p) \) mit der Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt berechnet werden kann. Zum Beispiel könnten wir die Knoten so wählen, dass \( \tilde{x}_{1} = 0 \) und \( \tilde{x}_{2} = \tilde{x}_{3} = 1 \) sind. Dadurch würde sich die Quadraturformel zu \( \tilde{J}(p) = \tilde{\alpha}_{2} + \tilde{\alpha}_{3} \) reduzieren. Um das Integral \( I(p) \) genau zu berechnen, müsste jedoch der Term \( \tilde{\alpha}_{1} \) im Ergebnis auftauchen, was hier nicht der Fall ist.
Da wir die Wahl der Knoten und Gewichte in der Quadraturformel \( \tilde{J} \) frei haben, können wir sie so wählen, dass sie nicht exakt für das spezielle Polynom \( p(x) = x^6 \) ist. Daher kann die Quadraturformel \( \tilde{J} \) nicht exakt für alle Polynome mit Grad höchstens 6 sein.
meinst du, ist das richtig?
