Question

Folgt aus a - ε ≤ a_n , a - ε < a_n oder aus a_n ≤ a + ε , a_n < a + ε bezugnehmend auf Folgen?

Answer 1

Kurz und knapp: Nein!

Comments

Weshalb reicht es dann manchmal für einen Grenzwert bspw. a - ε < a_n und nur a_n ≤ a + ε zu zeigen, obwohl eigentlich ja a_n < a + ε zu zeigen wäre (oder etwa nicht?)?

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In vielen solchen Fällen kann man statt $\epsilon$

auch $\epsilon/2$ nehmen. Z.B.

wenn es zu jedem $\epsilon > 0$ ein $N=N(\epsilon)$

gibt mit $|a_n-a|<\epsilon\; \; \forall n\geq N(\epsilon)$,

Dann gibt es dies $N(\epsilon')$ auch für $\epsilon'=\epsilon/2$.

In vielen Konvergenzdefinitionen kann man daher

$\leq \epsilon$ durch $<\epsilon$ und umgekehrt ersetzen.

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Ok, das macht Sinn. Danke für die Antwort.