Linearität, Surjektivität, … von Abbildungen

Question

Ich hätte gleich noch eine weitere Frage. Bzw. ich bin mir nicht sicher ob die Aufgabe so richtig gelöst ist.

Überprüfen Sie die Abbildung auf Linearität, Injektivität und Surjeltivität : f: ℝ²→ℝ, (x,y) ↦ x²+y²-1

Ansatz:

Da f((0,0))= -1 der Nullvektor wird nicht auf den Nullvektor abgebildet, somit ist die Abbildung nicht Linear und folglich auch nich Injektiv und Surjektiv

Comments

Die Funktion ist nicht injektiv, weil z.B. f(0,1) = f(1,0) ist.
Die Funktion ist nicht surjektiv, weil f(x,y) ≥ -1 für alle (x,y) ∈ ℝ² ist.

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nicht Linear und folglich auch nich Injektiv

\( x \mapsto \exp(x) \) ist auf \(\mathbb{R} \) injektiv, aber offensichtlich nicht linear.

Answer 1

Da f((0,0))= -1 der Nullvektor wird nicht auf den Nullvektor abgebildet, somit ist die Abbildung nicht Linear

Richtig.

und folglich auch nich Injektiv und Surjektiv

Linearität ist für Injektivität und Surjektivität nicht notwendig.