Stammfunktionen bilden (Schwierigkeit)

Question

Hat hier jemand Tipps oder Tricks auf Lager, wie man z.B. F(x) von f(x)=cos(xy) am einfachsten und schnellsten bilden kann?

Ich hätte sin(xy) · y gesagt, das wäre aber die Ableitung

Comments

... das wäre aber die Ableitung

Welche?

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Leider gibst du überhaupt nichts über die Rollen der Variablen (oder Konstanten ?) x und y an. Ohne solche Angaben kann man mit der Frage nichts Gescheites anfangen.

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Sorry, hatte vergessen nach x zu sagen.

Answer 1

Ich nenne den ominösen Faktor a.

F(x)=a•sin(xy)

F'(x)= a•y•cos(x)

F'(x)=f(x)

a•y•cos(xy) = cos(xy) = 1•cos(xy)

a•y = 1

a = 1/y

F(x) = 1/y • sin(xy)

:-)

PS:

Ich hätte sin(xy) · y gesagt, das wäre aber die Ableitung

Nein, die Ableitung ist -sin(xy) · y .

Answer 2

Hallo

da du nach x ableitest, willst du offensichtlich auch F(x) wissen das ist

F(x)=1/y *sin(xy)+C  für y≠0  und für y=0 einfach f(x)=1 integrieren.

lul

Comments

Ja, was F(x) kann ich auch anhand eines Rechners wissen.

Ich möchte eher wissen, wie man drauf kommt "Hat hier jemand Tipps oder Tricks auf Lager, wie man (...) am einfachsten und schnellsten bilden kann"

Mich stört vor allem die 1/y am Anfang...

Answer 3

Du kannst doch immer leicht die Probe machen. Was wäre denn die Ableitung von

f(x) = sin(x * y) * y

für sin(x * y) gilt die Kettenregel und für y gilt die (konstante) Faktorregel.

Bei der Stammfunktion musst du quasi die Kettenregel umkehren indem du nicht mit der inneren Ableitung multiplizierst sondern durch die innere Ableitung teilst. Also

F(x) = 1/y * sin(x * y) + C

Bilde davon jetzt mal die Ableitung.

Answer 4

Aloha :)

Ich nehme an, dass $f$ eine Funktion von $x$ ist, sodass $y$ eine Konstante ist.$$f(x)=\cos(xy)$$Mit der folgenden Substitution$$u\coloneqq xy\implies\frac{du}{dx}=y\implies dx=\frac1y\,du$$kannst du das Integral berechnen$$F(x)=\int\cos(xy)\,dx=\int\cos(u)\,\frac1y\,du=\frac1y\int\cos(u)\,du=\frac1y\sin(u)+C$$und musst am Ende die Substitution wieder rückgängig machen:$$F(x)=\frac1y\sin(xy)+C$$

Du kannst das auch kürzer aufschreiben. Mit $(\frac{d(xy)}{dx}=y)$ bzw. $(d(xy)=y\,dx)$ gilt:$$F(x)=\int\cos(xy)\,dx=\frac1y\int\cos(xy)\,y\,dx=\frac1y\int\cos(xy)\,d(xy)=\frac1y\sin(xy)+C$$

Comments

$x$ sollte nicht gleichzeitig als Integrationsvariable und als externe Variable verwendet werden, wenn man möglicher Verwirrung vorbeugen will. Gerade bei solchen Aufgaben.

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Das ist bei unbestimmten Integralen aber üblich.

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Hab ich noch in keinem Lehrbuch gesehen, aus offensichtlichen Gründen.

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Dann hast du ja jetzt was dazu gelernt ;)

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Hatte meinen vorigen Kommentar eigentlich gelöscht, dachte ich. Nunja. Was nicht heißen soll, dass ich Deine Erklärung für lehrbuchreif halte ;-)

Answer 5

Ein anderer Weg:

Substitution mit u=xy, also x=u/y und dx=1/y für y ungleich 0 , dann einsetzen

(cos(u) / y) du

jetzt für das Aufleiten von cos(u) musst du die typische Regel verwenden

sin(x)<-cos(x)<--sin(x)<--cos(x)

dann hast du

sin(u)/y und dann Rücksubstituieren liefert:

sin(xy)/y + C

Answer 6

Stelle dir vor y= 5:

f(x) = cos(5x)

-> F(x) =  sin(5x)*1/5 +C

5 durch y ersetzen:

F(x) = 1/y*sin(xy)

Hier ist das ganz einfach, weil die Ableitung von sin(x) bekanntlich cos(x) ist.

Man kann die Ableitung sehen, wenn man noch bedenkt, wenn man den beim Ableiten entstehenden Faktor y

wehkriegt, nämlich mit 1/y.

Fazit:

Man erkennt leicht, dass gilt:

f(x) = cos(ax)  -> F(x) = 1/a*sin(ax) +C

bzw.

f(x) = sin(ax) -> F(x) = -1/a*cos(ax) +C