Eigenwerte bestimmen und die algebraische Vielfachheit finden

Question

Aufgabe: Eigenwerte finden und Vielfachheit der Eigenwerte bestimmen,

Problem/Ansatz:

… man muss anhand dieser Matrix A, die Eigenwerte berechnen und auch die algebraische Vielfachheit bestimmen. Habe ich das richtig gemacht?

Text erkannt:

\( A=\left(\begin{array}{lll}6 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right) \quad \) Eigenwerte finden
Charakteristiache Polynom auptellen
\( \begin{array}{l} \left(\begin{array}{ccc} 6-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 6-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 4-\lambda \end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 4-\lambda \\ 6-\lambda & 2 & 1 \\ 2 & 6-\lambda & 0 \end{array}\right) \\ =(4-\lambda) \cdot\left(\begin{array}{cc} 6-\lambda & 2 \\ 2 & 6-\lambda \end{array}\right) \\ \text { Qt. } \begin{aligned} \left(\begin{array}{cc} 6-\lambda & 2 \\ 2 & 6-\lambda \end{array}\right) & =(6-\lambda) \cdot(6-\lambda)-(2 \cdot 2) \\ & =36-6 \lambda-6 \lambda+\lambda^{2}-4 \end{aligned} \\ =\lambda^{2}-12 \lambda+32 \\ \frac{b \pm \sqrt{b^{2}-G a c}}{2 \cdot a}=\frac{12 \pm \sqrt{14 G-128}}{2}=\frac{12 \pm \sqrt{16}}{2} \\ =\frac{12 \pm 6}{2} \\ \text { Fall } 1 \Rightarrow 12 \text { let } \frac{12+4}{2}=\frac{16}{2}=8 \\ \text { Fall } 2 \Rightarrow \frac{12-4}{2}=\frac{8}{2}=4 \\ \end{array} \)
\( \therefore \quad \) Figemwerter sind \( \lambda_{1}=4 \quad \lambda_{2}=8 \)
Algebrainche Vielfachheil vors \( \lambda_{1}=1 \)
Algebraiahe vielf whand von \( \lambda_{2}=1 \)

Answer 1

Eigenwerte sind 8 und 4, das stimmt. Aber eine gute Probe am Ende ist: Die Summe aller algebraischen Vielfachheiten muss am Ende 3 geben (bei einer 3x3-Matrix). Das ist bei Dir nicht der Fall.

Prüfe das nochmal, als Tipp: Du hast nirgendwo das charakteristische Polynom aufgeschrieben. Man hat zwar den Eindruck, Du berechnet es, aber es steht nirgendwo. Daran würde man auch die (algebraischen) Vielfachheiten gut erkennen. Du hast anscheinend nur den abgetrennten 2x2-Teil betrachtet, das reicht aber nicht.