Minimalstelle anhand der Ableitung einer Funktion finden

Question

Aufgabe: Die erste Ableitung von eine Funktion f ist gegeben und die zweite Ableitung auch. Man muss zeigen dass der Funktion an der Stelle x=0 eine Minimalstelle besitzt.

Text erkannt:

1 ste Ableitung von eine Funktion f
\( j^{\prime}=12 v_{1}^{6} t^{5}-12 v_{1}^{3} v_{2} t^{3}+2 v_{2}^{2} t \)
2te Ableitung \( y^{\prime \prime}=60 v_{1}^{6} x^{6}-36 v_{1}^{3} v_{2} y^{2}+2 v_{2}^{2} \)
Besitzt f eine Miminalstelle in Punkt (0) ?
\( \begin{array}{l} f^{\prime \prime}(0)=60 v_{1}^{6} \cdot 0-36 v_{1}^{3} v_{2} \cdot 0+2 v_{2}^{2} \\ = 0+2 v_{2}^{2} \\ 2 \cdot v_{2}^{2}>0 \quad \forall v_{2} \in \mathbb{R} \end{array} \)
Weil die 2 zweite Ableitung positive ist, besitzt f in 0 eine Minimalstelle

Problem/Ansatz: Habe ich es richtig gemacht

Answer 1

Weil die 2 zweite Ableitung positive ist

Das ist nicht hinreichend.

Hinreichend ist, dass die zweite Ableitung positiv ist und die erste Ableitung Null ist.

Answer 2

Die Ableitung lautet:

f'(t) = 12·u^6·t^5 - 12·u^3·v·t^3 + 2·v^2·t
f''(t) = 60·u^6·t^4 - 36·u^3·v·t^2 + 2·v^2

Was weiß man denn über v? Für v = v ≠ 0 hat die Funktion einen Tiefpunkt bei x = 0. Für v = 0 vereinfacht sich die 3. Ableitung zu

f''(t) = 60·u^6·t^4

für u ≠ 0 hätte man dann ebenfalls bei x = 0 einen Tiefpunkt. Für u = 0 wären 1. und 2. Ableitung überall 0 und man hätte eine konstante Funktion.