Minimalstelle und -wert der Funktion f(x,y):= 6x² - 4xy + y² +2x -3y?

Question

Erst einmal

Ich habe ein Problem bei einer Funktion wo ich zwar mehrere Lösungsansätze haben aber niemals die Probe Aufgeht.

Aufgabe: Berechnen Sie die Minimalstelle [x0,y0]^T element R²

f(x,y) := 6x² - 4xy + y² +2x -3y

und den Funktionswert f(x0,y0).

Kann mir bitte jemand helfen ich bin am verzweifeln

Comments

Hast du bereits Zwischenergebnisse, die du hier kontrolliert hast: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+6x²+-+4xy+%2B+y²+%2B2x+-3y+  ?

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f(x,y) := 6x² - 4xy + y² +2x -3y

und den Funktionswert f(x0,y0).

x=1 und y = 3.5 hast du nun bestimmt schon.

Den Extremwert berechnest du als

f(1, 3.5) = 6 - 4*3.5 + 3.5^2 + 2 - 3*3.5 = - 17/4

Nun musst du vermutlich noch zeigen / begründen, dass du da tatsächlich ein Minimum gefunden hast.

Answer 1

Ansatz: Bilde die partiellen Ableitungen und setze diese Null (notwendigen Kriterium). Dann wirst ein Gleichungssystem erhalten, wonach du nach x auflösen kannst.

Wenn mich auf die schnelle nicht alles täuscht, kommt als x = 1 rund y = 3,5 raus.

Comments

Meinst du mit Partieller Ableitung die zweite Ableitung der gesamten Funktion?


und dann in die erste Ableitung einsetzen dann würde ich für die erste Ableitung

f ' = 2y - 7

f '' = 2    <--- in f ' einsetzen dann bekomme ich für y 3,5 raus

aber wie der x Wert kannst du mir eventuell eine Lösung posten mit Rechenweg?

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Ich meinte die partiellen Ableitungen nach x und y.

f(x,y) := 6x² - 4xy + y² +2x -3y

f '_x = 12x - 4y +  2

f '_y =  - 4x + 2y - 3

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vielen dank und dann die Funktionen Jeweils nur 0 setzen für x und y und dann ist der Funktionswert auch die beiden Punkte die dabei her raus kommen.


Vielen Vielen Dank

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Mal zwei Fragen zwischendurch: Machst Du das zum allerersten mal und hast Du gar keine ähnlichen Beispiele?

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@jd130,

  der Fragesteller ( wie alle Fragesteller hier ) kannte den Rechenweg
und die Lösung  nicht. Deswegen hat er ja gefragt.
  Deine Anmerkung ist von daher in meinen Augen überflüssig.
Georg

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ich komme trotz der Ableitungen nicht auf das Ergebnis.

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Schreib mal bitte deinen Rechengang hierhin. Dann sehen wir uns das mal an.

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ich habe für den x wert einfach mal eingesetzt also eher auf probe Basis


f(x=1,y) = 6x² - 4xy +y² +2x -3y

würde ich für einen
f(y) = y² -7y +8 darauf hin habe ich die erste Ableitung gebildet

f ' (y) = 2y - 7 das ganze 0 gesetzt und ich bekomme für y = 3,5 raus da ich aber nur für x einen fiktiven Wert benutzt habe denke ich das diese Aufgabe falsch berechnet ist.

wenn ich deiner Rechnung der Partiellen Ableitung folgen würde.

sprich
f 'x = 12x - 4y +  2

f 'y =  - 4x + 2y - 3

und beide 0 setze  komme ich auf y= 1,5 und x = 2

deine Aussage wenn du dich nicht verrechnet hast ist y =3,5 und x = 1

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Zitat: ich komme trotz der Ableitungen nicht auf das Ergebnis.
Welches Ergebnis eigentlich?

Hi, Du kannst die beiden partiellen Ableitungen

f_x(x,y) = 12x - 4y + 2
f_y(x,y) = -4x + 2y - 3

gleich Null setzen und das so entstehende Gleichungssystem lösen.

Es sollte x = 1 und y = 3.5 herauskommen.

 

Zitat: Ich habe ein Problem bei einer Funktion wo ich zwar mehrere Lösungsansätze haben aber niemals die Probe aufgeht.
Welche Ansätze hast Du? Und welche Probe hast Du gerechnet?

Zitat: Meinst du mit Partieller Ableitung die zweite Ableitung der gesamten Funktion? Und dann in die erste Ableitung einsetzen dann würde ich für die erste Ableitung...

Zitat: ...und dann die Funktionen Jeweils nur 0 setzen für x und y und dann ist der Funktionswert auch die beiden Punkte die dabei her raus kommen.
Was meinst Du mit den beiden letzten Zitaten?

 

@Georg: Ob der Fragesteller die Lösung nicht kennt, weiß ich nicht; dass er den Rechenweg nicht kennt, habe ich vorausgesetzt. Wie es scheint (s.o.), sind ihm aber auch die in der unterrichtlichen Vorbereitung solcher Aufgaben normalerweise behandelten Begriffe und Verfahren unbekannt. Damit wird das Lösen der eigentlichen Aufgabe erst mal uninteressant und das Schließen der Stofflücken (Skript, Beispiele, Nachfragen im Forum,...) sollte im Vordergrund stehen. Ob dies nun so zutrifft oder nicht, weiß ich nicht und darauf richtete sich meine Frage.

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@hh187
Ich habe mich schon Informiert auch was die Partielle Ableitung betrifft. Das ist mal eine Aufgabe für eine Prüfungsvorbereitung und dachte das mir jemand hier einen einleuchtenden Rechenweg mit Lösung geben kann darum habe ich die Frage hier eingestellt. Ich finds nur ein wenig schade da ich mal im Bereich Statistik und Optimierung eine Frage gepostet habe und darauf keine Bemerkungen wie die von dir hier geschrieben wurden, sondern mir wurde geholfen.

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f(x,y) := 6x² - 4xy + y² +2x -3y

f '_x = 12x - 4y +  2

f '_y =  - 4x + 2y - 3

1. Ableitungen Null setzen (notwendiges Kriterium für Extrema)

(1) 12x - 4y +  2 = 0  <> 12x - 4y = -2 <> 6x - 2y = -1 -> (1)*

(2) - 4x + 2y - 3 = 0 <> - 4x + 2y = 3 ->(2)*

(1)* + (2)* -> 2x + 0y = 2 -> x = 1

x = 1 in (1) ergibt 12*1 - 4y +  2 = 0 -> 14 - 4y = 0 -> y = 14/4 = 7/2 = 3,5

...

Answer 2

Hier einmal der komplette Rechenweg

f ( x,y ) = 6x² - 4xy + y² +2x -3y

1.Ableitungen
nach x
f '_x = 12x - 4y +  2
nach y
f '_y =  - 4x + 2y - 3

Extrempunkte
12x - 4y +  2 = 0
- 4x + 2y - 3 = 0  | * 3

  12x - 4y +  2 = 0
- 12x + 6y - 9 = 0  | addieren
-----------------------
-4y + 6 y + 2 - 9 = 0
2y = 7
y = 3.5

in 1 eingesetzt
12x - 4y +  2 = 0
12x - 4*3.5 +  2 = 0
12 * x = 12
x = 1

Probe mit 2
- 4x + 2y - 3 = 0 
- 4 * 1 + 2 * 3.5- 3 = 0
0 = 0  | stimmt

Das müßte es doch eigentlich gewesen sein.

mfg Georg

 

Comments

Das müßte es doch eigentlich gewesen sein.

Wenn Du das in Bezug auf die Aufgabenstellung setzt, so fehlt die Überprüfung der kritischen Stelle (bspw. mit Hesse-Matrix).

Zudem wurde bisher der Funktionswert z = f(x,y) nicht genannt ;).

 

Übrigens: Bei partiellen Ableitungen ist es eher unüblich f '_x zu schreiben. Der Mathematiker ist meist faul und durch den Index bereits alles gesagt^^.

 

Grüßle

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Hallo unknown,

Zitat " Übrigens: Bei partiellen Ableitungen ist es eher unüblich f '_x
zu schreiben. Der Mathematiker ist meist faul und durch den
Index bereits alles gesagt^^.

  Ich war sogar noch fauler und habe den Ausdruck

"   f '_x "

per copy+paste aus einer vorigen Antwort übernommen.

mfg Georg

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Hi, eine Überprüfung mit einem hinreichenden Kriterium ist hier eigentlich nicht notwendig, da die Aufgabenstellung die Existenz einer Minimalstelle bereits voraussetzt. Das ist sicher so beabsichtigt, um den Bearbeitungsaufwand in Grenzen zu halten. Manchmal werden hinreichende Kriterien in der zugehörenden Lehrveranstaltung auch gar nicht ausführlich behandelt.