Aufgabe:
Gegeben ist die Funktion \(f: \left]-1,1\right[ \mapsto \mathbb{R} : x \mapsto x^{2}\). Wie viele ableitbare Funktionen \(g: \left]-1,1\right[ \mapsto \mathbb{R}\) gibt es, so dass \((fg)' = f'g'\)?
Problem/Ansatz:
D.h. \(f'g + fg' = f'g'\)
\(2xg + x^{2}g' = 2xg'\)
\(g'+ \frac{2}{x-2}g = 0 \)
Integrationsfaktor: \( e^{\int \frac{2}{x-2} \,dx} = e^{2\ln |x-2|} = e^{\ln (x-2)^{2}} = (x-2)^{2} \)
\((x-2)^{2}g'+ 2(x-2)g = 0 \)
\( (\int (x-2)^{2} g)' \,dx = \int(0)\,dx \)
\( g(x-2)^{2} = c \)
\( g = \frac{c}{(x-2)^{2}} \) und c ∈ ℝ, also unendlich viele?
Vielleicht habe ich aber auch nur falsche Mathematik erfunden. Vielen Dank für eure Hilfe.
