Differenzierbare Funktion f. Gilt (fg) '(a) = f '(a) g(a), weil f(a) =0 und g stetig in a?

Question

Aufgabe:

Seien \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) zwei Funktionen. Sei \( a \in \mathbb{R} . f \) sei differenzierbar in \( a \) und es gelte \( f(a)=0 . g \) sei stetig in \( a \). Zeigen Sie, dass die Funktion \( f g \) :

\( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar in \( a \) ist und es \( (f g)^{\prime}(a)=f^{\prime}(a) g(a) \) gilt. (4 Bonuspunkte)

Answer 1

ich hoffe ich kann dir helfen =) 100pro sicher bin ich mir nicht aber es erscheint mir plausibel:

Da \( f \) in a differenzierbar ist, muss es ja eine reelle Zahl geben für \( f^{\prime}(a)=\lambda \quad \lambda \in R \)

Wir wissen, dass \( g \) in a stetig ist, d.h \( \lim \limits_{x \rightarrow a_{+}} g(x)=\theta \quad x \in R, \quad \theta \in R \)
\( \lim \limits_{x \rightarrow a_{.}} g(x)=\theta \)

Jetzt schauen wir was passiert wenn wir die beiden Funktionen miteinander multiplizieren und rechtsseitige mit linksseitiger Ableitung miteinander vergleichen \( \lim \limits_{x \rightarrow a_{0}} \frac{f(x) g(x)-f(a) g(a)}{x-a} \)

Wir wissen, dass \( f(a)=0 \) und weil \( g \) in a stetig ist können wir Differenzenquotienten auch so schreiben \( \lim \limits_{x \rightarrow a_{0}} \frac{f(x) g(x)}{x-a}=\lim \limits_{x \rightarrow a_{0}} \frac{f(x)}{x-a} \lim \limits_{x \rightarrow a_{+}} g(x) \)

Das ist nichts anderes als \( f^{\prime}(a) * g(a)=\lambda * \theta \) Jetzt noch die linksseitige Ableitung \( \lim \limits_{x \rightarrow a_{.}} \frac{f(x) g(x)-f(a) g(a)}{x-a}=\lim \limits_{x \rightarrow a_{.}} \frac{f(x) g(x)}{x-a}=\lim \limits_{x \rightarrow a_{a}} \frac{f(x)}{x-a} \lim \limits_{x \rightarrow a_{0}} g(x) \)

Das selbe Spiel \( f^{\prime}(a) \) * \( g(a)=\lambda * \theta \) Also stimmt die rechtsseitige Ableitung mit der linksseitigen überein. \( \Rightarrow \) differenzierbar in a