Komposition von fg ist total differenzierbar in einem Punkt

Question

Aufgabe:

U ein offene Teilmenge von ℝⁿ , x₀∈U und f,g:U→ℝ.

Zu zeigen ist: f ist stetig und g total differenzierbar in x₀ mit g(x₀) = 0, so ist fg:U→ℝ total differenzierbar in x₀ mit

D(fg)(x₀)=f(x₀)Dg(x₀)

Problem/Ansatz:

weshalb D(fg)(x₀)=f(x₀)Dg(x₀) gilt ist, klar und leicht zu zeigen mit der Produktregel.

Nun fehlt noch die totale Differenzierbarkeit in x₀.
Wenn ich es richtig verstehe reicht es zu zeigen, dass:

lim_x→x0 1/|x-x₀| ( f(g(x)) - L(g(x)-g(x₀)) - f(g(x₀)) ) = 0

Weiter würde ich dann bekommen

lim_h→0 1/|h| ( f(h) - L(h) - f(0) )

Wenn ich nun für L die Nullfunktion wähle und da f(h) = f(0) wegen Stetigkeit, dann würde ich ja die Bedingung erfüllen und fg ist total differenzierbar in x₀.

Also meine Frage ist, ob ich da korrekt vorgegangen bin und damit den Beweis korrekt geführt habe oder einen Fehler drinnen habe.

Schonmal vielen Dank für eure Hilfe :)

Answer 1

Hallo,

ob Du etwas Richtiges meinst, ist nicht zu erkennen. Die Aufgabe bezieht sich doch auch die Funktion \(x \mapsto f(x)g(x)\) (also Produkt der Funktionswerte). Du schreibst aber dann \(f(g(x))\), was etwas andere ist und hier gar nicht definiert ist.

Außerdem ist " f(h) = f(0) wegen Stetigkeit," sicher falsch.

Gruß Mathhilf

Comments

Hooppla, das sollte eigentlich ein Kommentar sein. Dann jetzt eine richtige Antwort:

Zu zeigen ist, dass \(F(x):=f(x)g(x)\) im Punkt \(a=x_0\) differenzierbar ist. Dazu ist zu untersuchen \(R(h):=F(a+h)-F(a)-Lh\), wobei L die (potentielle) Ableitung ist. Aufgrund der Aufgabenstellung gilt notwendig \(Lh=f(a)Dg(a)h\). Es gilt:

$$R(h)=f(a+h)g(a+h)-f(a)Dg(a)h$$

$$=f(a+h)[g(a+h)-g(a)-Dg(a)h] + [f(a+h)-f(a)]Dg(a)h$$

Wegen der Stetigkeit, ist f in einer Umgebung von a beschränkt, also etwa

$$|f(a+h)| \leq \alpha \text{  für } |h|<\delta$$

Außerdem ist \(|Dg(a)h| \leq |Dg(a)| |h|\). Damit erhält ma:

$$\frac{1}{|h|} |R(h)| \leq \alpha \frac{1}{|h|}|g(a+h)-g(a)-Dg(a)h|$$$$+|f(a+h)-f(a)||Dg(a)|$$

Der erste Summan geht gegen 0 wegen der Differenzierbarkeit von g, der zweite wegen der Stetigkeit von f.

Gruß Mathhilf

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Hi, kurze Frage zu deiner Antwort:

Du hast die Zeile \(R(h):=F(a+h)-F(a)-Lh\) und setzt dann für F(a+h) und für Lh die jeweiligen Definitionen einund kommst auf \(R(h)=f(a+h)g(a+h)-f(a)Dg(a)h\). Meine Frage: was ist mit dem -F(a) Teil aus der ersten Zeile passiert? Fällt das einfach so weg? Oder übersehe ich einfach nur irgendwas offensichtliches?

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Welchen Wert hat denn F(a)?

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Ah ja, ok. F(a) = f(a)*g(a) = 0 wegen g(a) = 0.