n-mal differenzierbare Funktionen (fg)^n

Question

Aufgabe

Die Funktionen \( f, g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) seien \( n \) -mal differenzierbar. Zeigen Sie:
$$ (f g)^{(n)}=\sum \limits_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l} {n} \\ {k} \end{array}\right) f^{(k)} g^{(n-k)} $$
Berechnen Sie außerdem \( f^{(100)}(x) \) für den Fall \( f(x)=x^{2} e^{x} \)

 

Hat jemand eine Ahnung wie man an diese Aufgabe angeht? Ich vermute man kann mit dem Induktionsbeweis etwas erreichen, aber schon beim lesen des Ausdrucks fg^n = habe ich Probleme...die Summe der Polynome von 0 bis n und weiter? :/

Answer 1

Das erste ist nur mehrfache Anwendung der Produktregel, beweis du am besten

über vollst Induktion.

b) Mit deiner Formel

∑ (n über k) f^(k)g^(n-k) , für k = 0 bis n.

und f = x² und g = e^x bleibt von den 100 Summanden nicht viel übrig, weil ab der 3. Ableitung

bei f⁽ⁿ⁾ immer 0 rauskommt.

also ist die 100te Ableitung

(100 über 0)*x²*e^x + (100 über 1) * 2x *e^x  + (100 über 2) * 2 *e^x +0+0+0+0..

e^x * (   (100 über 0)*x² + (100 über 1) * 2x   + (100 über 2) * 2 *e^x )

= e^x * ( x² +  200x  + 9900 )

Comments

IA ist klar. Aber wie geht der IS??

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Dann gilt die Sache für n und dann sind ja die Funktionen n+1 mal diffb und

du musst  (f*g)(n+1) bilden, das ist die Ableitung (f*g)(n)

und dafür hast du ja die Formel

∑ (n über k) f^(k)g^(n-k) , für k = 0 bis n  

und  wenn du das nun ableitest, dann machst du das summandenweise

und erhältst mit der Produktregel angewandt auf die Summanden

∑ (n über k) [ f^(k)g^(n-k+1) +  f^(k+1)g^(n-k) ]  , für k = 0 bis n  

und daraus zwei Summen

=∑ (n über k)  f^(k)g^(n-k+1)    , für k = 0 bis n   + ∑ (n über k)   f^(k+1)g^(n-k)   , für k = 0 bis n  

und jetzt ersetze in der 2. Summe k durch k-1, dann läuft die Summe von 1 bis n+1

=∑ (n über k)  f^(k)g^(n-k+1)    , für k = 0 bis n   + ∑ (n über k-1)   f^(k)g^(n-k+1)   , für k = 1 bis n+1  

den 0-ten Summanden der ersten Summe und den letzten der 2. Summe

schreiben wir mal extra hin, dann sieht es so aus :

(n über 0)  f⁽⁰⁾g⁽ⁿ⁺¹⁾  + ∑ (n über k)  f^(k)g^(n-k+1)    , für k = 1 bis n

           + ∑ (n über k-1)  f^(k)g^(n-k+1)    , für k = 1 bis n   +  (n über n)   f⁽ⁿ⁺¹⁾g⁽⁰⁾ 

Dann kann man die beiden Summen wieder zusammenfassen zu

(n über 0)  f⁽⁰⁾g⁽ⁿ⁺¹⁾  

+ ∑ [  (n über k)  f^(k)g^(n-k+1)   + (n über k-1)  f^(k)g^(n-k+1)   ]  , für k = 1 bis n

+  (n über n)   f⁽ⁿ⁺¹⁾g(0)

und in der Summe auklammern:

=  (n über 0)  f⁽⁰⁾g⁽ⁿ⁺¹⁾  

+ ∑ [  (n über k) + (n über k-1) ]   f^(k)g^(n-k+1)     , für k = 1 bis n

+  (n über n)   f⁽ⁿ⁺¹⁾g(0)
und die beiden Binomalkoeffizienten addieren, da gibt es eine Formel für

=  (n über 0)  f⁽⁰⁾g⁽ⁿ⁺¹⁾  

+ ∑   (n+1 über k)  f^(k)g^(n-k+1)     , für k = 1 bis n

+  (n über n)   f⁽ⁿ⁺¹⁾g(0)
und dazu passen auch der 1. und der letzte Summand
und es gibt
= + ∑   (n+1 über k)  f^(k)g^(n+1-k)     , für k = 0 bis n+1.  q.e.d.

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wieso leitest du f^(k) * g^(n-k) ab, indem du unabhängig von der Produktregel, +1 rechnest, sprich wie kommst du auf f^(k) * g^(n-k+1) +  f^(k+1)* g^(n-k) ?

Falls mir das sonst jemand ansonsten erklären könnte, wäre ich sehr dankbar

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Da hatte ich mich wohl vertan. Es muss ja wohl … -1 … heißen.

und bei dem 2. Summanden auch f^(k-1) .

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Achso ok, funktioniert das Ganze dann trotzdem noch so?

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Glaub schon, musst die Schritte mal durchgehen mit dem

korrigierten Term.

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An der Stelle, an der du k durch k-1 ersetzt, dürfte es glaube nicht mehr funktionieren, da ich f^(k-2) hab statt f^(k) wie kann ich das denn korrigieren um's zusammenfassen zu können?