Welche der folgenden Mengen von Funktionen ist keine Basis für den Lösungsraum?

Question

Aufgabe:

Welche der folgenden Mengen von Funktionen von \(\mathbb{R}\) nach \(\mathbb{R}\) ist keine Basis für den Lösungsraum der Differentialgleichung \(y''' + 4y' = 0\)?

A) \(\{x \mapsto \cos(2x), x \mapsto \sin(2x), x \mapsto 2\}\)
B) \(\{x \mapsto \cos^2 x, x \mapsto \sin^2 x, x \mapsto \cos x \sin x\}\)
C) \(\{x \mapsto \cos(2x+5), x \mapsto \sin(2x+5), x \mapsto 5\}\)
D) Alle oben genannten Mengen sind Basen für den Lösungsraum

Problem/Ansatz:

Charakteristische Gleichung: \(\lambda^{3} + 4\lambda = 0\)

Als Lösung finden wir \(\lambda = 0\) und \(\lambda = \pm 2i\)

⇒ \( y = A \cdot \exp(0x) + B \cdot \exp(0x) \cos(2x) + C \cdot \exp(0x) \sin(2x) \)

\(= A + B \cos(2x) + C \sin(2x) \) mit \(A, B, C \in \mathbb{R} \)

Die einzige der oben genannten Basen, die diese Struktur nicht hat (konstante fehlt), ist B). Also ist (B) keine Basis. Ist das richtig?

Answer 1

Mach mal langsam. Es kommt nicht darauf an, ob eine Funktion ein Basiselement ist, sondern ob sie als Linearkombination der Basiselemente darstellbar ist.

Du musst also in allen Fällen prüfen, ob die Funktionen \(x\mapsto 1, x\mapsto \cos(2x), x\mapsto \sin(2x)\) als Linearkombination der angegebenen Elemente darstellbar ist.

Das ist offensichtlich erstmal bei A) der Fall. Bei den anderen muss man genauer hinschauen. Auch bei B), da kann nämlich die Funktion \(x\mapsto 1\) durchaus dargestellt werden (betrachte die ersten beiden Basiselemente). Für alle anderen Überprüfungen sind Additionstheoreme hilfreich.

Endergebnis ist D).

Comments

Hab das mit den Additionstheoreme jetzt versucht. Bei A) ist es wie gesagt offensichtlich und bei C) habe ich es auch überprüfen können. Bei B) dann folgendes anwenden?

\( \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \)
\( \sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \)
\( \cos x \sin x = \frac{1}{2} \sin(2x) \)

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Zum Beispiel. Gibt viele Möglichkeiten. Hauptsache, alle drei gewünschten Funktionen lassen sich darstellen.

Was die Konstante betrifft: Geht auch mit Deinen Formeln. Generell muss man mMn wenig Formeln auswendig kennen, aber wenn man \(\sin^2x\) und \(\cos^2x\) sieht, sollte einem sofort der trig. Pythagoras einfallen.

Answer 2

Hallo,

die Lösung der DGL ist richtig.

Indem Du Additionstheoreme anwendest und die Probe machst, wirst Du sehen, das D die Lösung ist.

Comments

Vielen Dank für den Hinweis (auch a nudger)! Werde gleich versuchen alle 3 Basen richtig zu überprüfen.