Länge des Funktionsgraphen berechnen

Question

Hallo, ich möchte hier gerne die Länge des Funktionsgraphen bestimmen. Ich komme aber an dieser Stelle nicht weiter. Kann mir jemand bei dieser Übungsaufgaben helfen?

$\begin{aligned} f(x) & =\frac{1}{4} x^{2}-\ln (\sqrt{x}) \quad x=4 \quad x=9 \\ f^{\prime}(x) & =\frac{1}{2} x-\frac{1}{2} x \\ L & =\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}} d x \\ & =\int \limits_{4}^{9} \sqrt{1+\left(\frac{x}{2}-\frac{1}{2 x}\right)^{2}}\end{aligned}$

Answer 1

Hallo,

$$f(x) =\frac{1}{4} x^{2}-\ln (\sqrt{x}) \quad 4 \le x \le 9$$

Die Rechnung: $$\begin{aligned} f'\left(x\right)&=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2x} \\ L & =\int \limits_{a}^{b} \sqrt{1+\left(f^{\prime}(x)\right)^{2}}\,\text{d}x \\ &= \int \limits_{4}^{9} \sqrt{1+\frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4x^2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{2+x^2 + \frac{1}{x^2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{1}{x}\sqrt{x^4 +2x^2+ 1}\,\text{d}x &&|\, x \ge 0\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{x^2+1}{x}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} x + \frac{1}{x}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}x^2 + \ln(x)\right]_{4}^{9} \\ &= \frac{81-16}{4} +\frac{1}{2}\ln\left(\frac{9}{4}\right) \approx 16,66 \end{aligned}$$und die Bestätigung von Desmos für den nummerischen Wert:

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank für die sehr ausführliche Lösung. Ich kann soweit alles nachvollziehen, nur den Schritt Zeile 4 nach 5. Also die Auflösung der Wurzel. können sie mir den noch was näher erläutern?

---

@MBstudent: "Binomische Formel" sagt dir was?

@Werner: Die Ergänzung |x≥0

ist im konkreten Fall überflüssig.

---

... nur den Schritt Zeile 4 nach 5. Also die Auflösung der Wurzel. können sie mir den noch was näher erläutern?

$$\begin{aligned} \dots &\phantom{=}\frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{2+x^2 + \frac{1}{x^2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{\frac{2x^2}{x^2} +\frac{x^4}{x^2}+ \frac{1}{x^2}}\,\text{d}x\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \sqrt{\frac{2x^2+x^4 + 1}{x^2}}\,\text{d}x\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{1}{x}\sqrt{x^4 +2x^2+ 1}\,\text{d}x &&|\, x \ge 0\\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{1}{x}\sqrt{\left(x^2+1\right)^{2}}\,\text{d}x \\ &= \frac{1}{2}\int \limits_{4}^{9} \frac{x^2+1}{x}\,\text{d}x \\ &\dots\end{aligned}$$

---

Daumenhoch, irgendwann will ich dieses Desmodingsbums auch lernen :)

Answer 2

Länge:

$\displaystyle \int \limits_{4}^{9} \frac{1}{2} \sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}+x^{2}} \; d x \approx 16,7$

Comments

Danke für die Antwort. Das hilft mir schonmal weiter. Wie löse ich die Wurzel dann auf?

---

Wenn Du sie denn unbedingt auflösen willst, und da x positiv ist:

$\displaystyle \sqrt{2+\frac{1}{x^{2}}+x^{2}}=x+\frac{1}{x}$

---

Komme leider nicht ganz mit. Wie sind sie darauf gekommen?

---

Quadriere die Gleichung auf beiden Seiten, und Du wirst merken, dass auf beiden Seiten dasselbe steht.

Wie ich darauf gekommen bin? Wahrscheinlich hatte ich

(a + b)² = a² + 2ab + b²

im Hinterkopf.

---

es ist leichter zu sehen, wenn man die Reihenfolge der Summanden umstellt:$$\sqrt{\underbrace{x^{2}}_{a^2}+\underbrace{2}_{2ab}+\underbrace{\frac{1}{x^{2}}}_{b^2}}=x+\frac{1}{x}$$Wenn bei drei Summanden ganz links und ganz rechts ein Quadrat steht, so ist das immer verdächtig.

Answer 3

Löse die Klammer auf und fasse unter der Wurzel zusammen.

Die Wurzel lässt sich beseitigen.

https://www.integralrechner.de/

PS:

Du hast einen Fehler in der 2. Zeile, der in der 4. wieder verschwunden ist.