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Aufgabe:

Aufgabe siehe Problem.



Problem/Ansatz:

Ich dachte, dass man hier die partielle Integration anwenden könnte. Für die untere Grenze wird ja alles 0, da x2 bzw. 2x mit Sinus und Cosinus zu null führen. Es bleibt also Wurzel von Pi, das man ja zu x1/2 schreiben kann. Durch den Exponent ergibt das ja dann Pi. Da Sinus von pi 0 ergibt, verbleibt nur noch - (-1) = 1.


Hier vielleicht noch die Frage: Verwende ich partielle Integration nur bei der Integration (ergibt Sinn) und die Produktregel nur beim Ableiten (das ist die eigentliche Frage)?


Vielen Dank schon mal!


image.jpg

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\left.\int \limits_{0}^{\sqrt{\pi}} \begin{array}{c}-1 \\ 0(x)\end{array} f^{2}\right) \cdot 2 x d x=1 \\ \left.\sin \left(x^{2}\right) \cdot x^{2}\right|_{0} ^{\sqrt{\pi}}-\int \limits_{0}^{\sqrt{\pi}} x^{2} \cdot 2 x \cdot \cos \left(x^{2}\right) \\ \sin (\pi) \cdot \pi-\pi \cdot 2 \cdot \pi^{\frac{1}{\alpha}} \cdot \cos (\pi) \\ 0 \\ 11 \\ -1\end{array} \)

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2 Antworten

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Aloha :)

Gesucht ist$$I=\int\limits_0^{\sqrt\pi}\sin(x^2)\cdot 2x\,dx$$Hier erkennt man sofort, dass \(2x\) die Ableitung von \(x^2\) ist, also die innere Ableitung der Funktion \(\sin(x^2)\). So etwas schreit immer ganz lauf nach Substitution:$$u\coloneqq x^2\implies \pink{\frac{du}{dx}=2x}\quad;\quad \green{u(0)=0}\quad;\quad \color{blue}u(\sqrt\pi)=\pi$$Damit erhalten wir:$$I=\int\limits_{\green 0}^{\color{blue}\pi}\sin(u)\cdot\pink{\frac{du}{dx}}\,dx=\int\limits_0^\pi\sin(u)\,du=\left[-\cos(u)\right]_0^\pi=-\cos(\pi)+\cos(0)=2$$

Avatar von 153 k 🚀
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Da 2x die Ableitung von x2 ist, kommt man hier ohne Rechnung schnell ans Ziel ohne partielle Integration:

F(x)= -cos(x2)+C

Du musst nur die Ableitungen von sin(term) und cos(term) kennen.

Avatar von 39 k

Aber könnte ich auch die partielle Ableitung nehmen oder muss ich den anderen Weg gehen?

Müssen musst du nichts.

Es ist umständlicher.

Die Lösung ist 2.

https://www.wolframalpha.com/input?i=integrate+2x*sin%28x%5E2%29+fro…

Also stimmt dein Ansatz nicht.

Substitution wäre der Weg:

https://www.integralrechner.de/

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