Differenzierbarkeit mit Parameter

Question

6. Differenzierbarkeit: Prüfen Sie, für welche Werte des reellen Parameters $a$ die Funktion
$f(x)=\left\{\begin{array}{lll} x^{2}, & \text { falls } & x \leq 1, \\ x^{2}+a(x-1)^{2}, & \text { falls } & x>1 \end{array}\right.$
an der Stelle $x=1$ differenzierbar ist, und geben Sie ggf. den Wert der Ableitung an dieser Stelle an.

$\begin{array}{l}\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{x-1}=\lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 1} x+1=2 \\ \lim \limits_{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}+a(x-1)^{2}-1+a}{x-1} \\ =\lim \limits_{x \rightarrow 1} x^{2}+a(x-1)-1+a\end{array}$

Guten Tag, leider bekomme ich den 2. Grenzwert nicht raus, kann mir da bitte jemand weiterhelfen?

Answer 1

Alpha: )

Den linksseitigen Grenzwert $2$ des Differenzenquotienten für alle $a\in\mathbb R$ hast du korrekt ermittelt. Beim rechtsseitigen Grenzwert bist du auf dem richtigen Weg, hast im Zähler aber einen Summanden $a$ zu viel:

$$\phantom=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{x^2+a(x-1)^2-1}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\left(\frac{x^2-1}{x-1}+\frac{a(x-1)^2}{x-1}\right)$$$$=\lim\limits_{x\searrow1}\left((x+1)+a(x-1)\right)=2$$

Auch der rechtsseitige Grenzwert ist für alle $a\in\mathbb R$ gleich $2$.

Die Funktion ist also für alle $a\in\mathbb R$ an der Stelle $1$ mit $f'(1)=2$ differenzierbar.

Comments

Perfekt danke :-) jetzt habe ich es, super

Answer 2

Die Funktion

        $f_1(x) \coloneqq x^2$

ist auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar laut Produktregel.

Die Funktion

        $f_2(x) \coloneqq x^2 + a(x-1)^2$

ist für jedes $a\in \mathbb{R}$ auf ganz $\mathbb{R}$ differenzierbar laut Produkt- Summen- und Faktorregel.

Eine Funktion ist bei $x_0$ genau dann differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten für $x\to x_0$ existiert.

Der Grenzwert existiert genau dann, wenn rechtssseitiger und linksseiter Grenzwert existieren und übereinstimmen.

Deshalb ist $f$ genau dann differenzierbar, wenn $f_1'(1) = f_2'(1)$ ist.

Comments

Ich muss die Aufgabe mit dem links und rechtsseitigen Grenzwert berechnen. Wie ich das bei x² gemacht habe.

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Genau und für x² habe ich den Grenzwert berechnet. Aber ich muss den noch für die 2. Funktion bestimmen

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Ich muss die Aufgabe mit dem links und rechtsseitigen Grenzwert berechnen.

Dann hast du nicht die vollständige Aufgabenstellung angegeben. Gib die vollständige Aufgabenstellung an.

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Das ist die komplette Aufgabenstellung. Wir rechnen aber immer mit rechts und linksseitigen Grenzwert

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Wir rechnen aber immer mit rechts und linksseitigen Grenzwert

Der rechtsseitige Grenzwert des Differenzenquotienten von $f_2$ für $x\to 1$ existiert, weil der Grenzwert des Differenzenquotienten von $f_2$ für $x\to 1$ existiert.

Der Grenzwert des Differenzenquotienten von $f_2$ für $x\to 1$ existiert laut Definition Differenzierbarkeit, weil $f_2$ an der Stelle $1$ differenzierbar ist.

$f_2$ ist an der Stelle $1$ differenzierbar aufgrund von Produkt-, Summen-, und Faktorregel. Ebenfalls laut diesen Regeln ist $f_2'(1) = 2$