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Seien \( I \subset \mathbb{R} \) ein offenes Intervall, \( x_{0} \in I \) und \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \). Dann heißt \( f \) in \( x_{0} \) differenzierbar (kurz: diffbar), falls der Grenzwert
\( \lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \Delta f\left(x_{0}, x\right)=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}} \)
existiert.
\( f^{\prime}\left(x_{0}\right):=\lim \limits_{x \rightarrow x_{0}} \Delta f\left(x_{0}, x\right) \) heißt dann Ableitung von \( f \) in \( x_{0} \).
\( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) heißt differenzierbar, falls \( f \) in \( x_{0} \) differenzierbar für alle \( x_{0} \in I \).

Mit dieser Definition soll ich nun Zeigen, dass x^3 differenzierbar ist und die Ableitung mithilfe von Polynomdivision bestimmen.

Ich hab das jetzt so oft versucht aber ich komme immer nur an den Punkt wo ich die Polynomdivision unendlich weiterführe, weil ich nicht genau weiß wo ich den Fehler mache..

von

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Beste Antwort

(x^3 -x₀^3):(x - x₀)=x^2+xx₀ +x₀^2

-(x^3-x^2*x₀)

-------------------

    x^2*x₀-x₀^3

  -(x^2*x₀-xx₀^2)

--------------------------

        xx₀^2-x₀^3

     -(xx₀^2-x₀^3)

---------------------------

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von 21 k

Jo das Hab ich jetzt genau so, aber wie mache ich dann weiter? Ich muss das ja dann irgendwie kürzen auf (x^2 + x*x0 +x02)/1 , oder nicht? und dann x gegen x0 laufen lassen und das wäre dann ja 3x02 , wie genau kürze ich den term nach der Polynomdivision

Wenn du bei diesem Term x^2 + x*x₀ +x₀^2   nun x gegen  x₀ laufen lässt, erhältst du x₀^2+x₀^2+x₀^2=3x₀^2. Das ist nun die Ableitung von x^3 an der Stelle x₀.

→ f(x)=x^3      f´(x) =3x^2   An der Stelle x₀=2  →   f´(2) =3*2^2 =12

Unbenannt.PNG

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Hallo

es wäre besser du würdest einen deiner Versuche auch zeigen! Tu das, wenn dir der Tip nichts hilft (a^3-b^3)/(a-b)=a^2+ab+b^2)  bestätigen durch ausmultiplizieren oder Polynomdivision,

Gruß lul

von 80 k 🚀

können sie mir die Polynomdivision mal zeigen? Ich bin gerade verwirrt ich hab doch:

(x - x0) = (x3 - x03) (.... -> ab dem punkt hab ich das so lange weiter gemacht bis ich halt gemerkt habe, dass es unendlich lange geht, was mache ich falsch?

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