Differenzierbarkeit Produkt an einer Stelle

Question

Da mir gerade so super geholfen wurde, anhabe ich noch eine Übungsaufgaben zum Thema Differenzierbarkeit, wo ich nicht weiterkomme.

Prüfen Sie, ob die Funktion $f(x)=x \cdot|x-1|$
a) an der Stelle $x=0$
b) an der Stelle $x=1$ differenzierbar ist.

Answer 1

Aloha :)

$$f(x)=x\cdot|x-1|=\left\{\begin{array}{rl}x(x-1) & \text{für }x\ge1\\-x(x-1) & \text{für }x<1\end{array}\right\}=\left\{\begin{array}{rl}x^2-x & \text{für }x\ge1\\-x^2+x & \text{für }x<1\end{array}\right.$$Für die Differenzierbarkeit bei $x=0$ ist nur das untere Polynom relevant. Da Polynome über ganz $\mathbb R$ differenzierbar sind, ist auch $f(x)$ an der Stelle $0$ differenzierbar.

Die Differenzierbarkeit bei $x=1$ untersuchen wir mittels dem links- und rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten:

$$\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}\frac{-x(x-1)-0}{x-1}=\lim\limits_{x\nearrow1}(-x)=-1$$$$\lim\limits_{x\searrow1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}\frac{x(x-1)-0}{x-1}=\lim\limits_{x\searrow1}(x)=1$$

Die beiden Grenzwerte sind unterschiedlich, daher ist $f(x)$ bei $x=1$ nicht differenzierbar.

Comments

Mega, vielen lieben Dank :-)

Answer 2

Das ist die Funktion

und das ist die erste Ableitung:

Answer 3

a) x=0 bedeutet f(x)=x und f '(x)=1 und folglich f'(1)=1.

b) x=1. Der Graph von f(x):

An der Stelle 1 existieren zwei Ableitungen.

Comments

Auch hier muss ich wieder den links und rechtsseitigen Grenzwert rechnerisch bilden.

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An der Stelle 1 existieren zwei Ableitungen.

An der Stelle 0 auch.

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Ja, die erste und die zweite Ableitung.

(Über die dritte verrate ich nichts.)

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Ich hätte mir meinen Kommentar zu Rs Antwort erspart, hätte er das, was er (vermutlich) gemeint hat, nämlich dass an der Stelle 1 zwei Ableitungen, nämlich die linksseitige und die rechtsseitige mit unterschiedlichen Werten existieren, auch geschrieben. Eine linksseitige und eine rechtsseitige existieren ja auch an der Stelle 0.

Alternativ hätte R auch korrekt schreiben können "An der Stelle 1 existiert keine Ableitung".