Mit welcher Wahrscheinlichkeitstammt eine defekte Lampe aus dem Werk A? (Satz von Bayes)

Question

Aufgabe:

Eine Lieferung von LED-Lampen stammt zu 60% aus dem Werk A, zu 40% aus dem Werk B. 97% der Lampen von A und 95% von B sind normgerecht. Mit welcher Wahrscheinlichkeitstammt eine defekte Lampe aus dem Werk A?

Kann mir jemand dieses Beispiel erklären? Ich verstehe nicht, warum man hier den Satz von Bayes anwendet?

Was ist hier überhaupt bedingt? Also wo sind die abhängigen Ereignisse?


Hier die Lösung:


Würde mich freuen, wenn du mir das erklären könntest bzw. wie weiß man auch wann ich den Satz von Bayes anwenden soll?

Answer 1

 

mach Dir doch einfach eine Vierfeldertafel:

 

	Werk A	Werk B
normgerecht	0,97*0,6=0,582	0,95*0,4=0,38
defekt
	0,6	0,4	1

Die roten Zahlen sind gegeben.

Der Rest ergibt sich aus Spaltensumme bzw. Zeilensumme:

	Werk A	Werk B
normgerecht	0,582	0,38	0,582+0,38=0,962
defekt	0,6-0,582=0,018	0,4-0,38=0,02	0,038
	0,6	0,4	1

Defekte Lampen insgesamt: 0,038

Davon 0,018 aus Werk A,

also W. dass eine defekte Lampe aus Werk A stammt:

0,018/0,038 ≈ 0,4736842105 ≈ 47,37%

 

Ich hoffe, ich konnte ein wenig helfen - es ist schon spät :-D

 

Wenn etwas unklar ist: Rückfragen als Kommentar :-)

 

Besten Gruß

Answer 2

Hallo Mr. Math

Schau mal ob du mit meiner Video-Erklärung etwas anfangen kannst. Ich habe auch eine Vierfeldertafen dazu gemacht. Ich persönlich habe eigentlich alles mit 4-Felder-Tafeln berechnet.

Comments

P(A|B) = (P(A)*P(B|A))/P(B) → so lautet doch der allgemeine Satz von Bayes. Richtig?

P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von Ereignis A, unter der Bedingung, dass Ereignis B eingetreten ist, richtig?

Und du hast P(A|d) ausgerechnet → Das ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe aus Werk A kommt, unter der Bedingung, dass diese Defekt ist richtig?

Was ist wenn ich P(D|A) nehme? → Ist das dan die Wahrscheinlichkeit, dass eine Lampe defekt ist, unter der der Bedingung, dass diese aus Werk A kommt?

Kann man das mit P(D|A) auch rechnen?


Die Formeln sind ja:

Dein Rechenweg: P(A|D) = [P(A)*P(D|A)] / P(D)

P(A) = 0,6 und P(D) = 0,6*0,03 + 0,4*0,05 = 0,038

Aber was ist nun P(D|A)? Was setze ich da ein?


Mein Vorschlag: P(D|A) = [P(D) * P(A|D)] / P(A)

Ist P(D) hier wieder 0,038? Und P(A) dann 0,6? Was setze ich hier für P(A|D) ein?


Wie weiß ich wie ich rechnen muss?

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Ja P(D|A) wäre die Wahrscheinlichkeit das eine Lampe Defekt ist unter der Bedingung das diese aus Werk A stammt. Diese Wahrscheinlichkeit war auch im Text direkt gegeben.

Als Übung kannst du dir mal das umgekehrte Baumdiagramm machen, indem du zuerst nach N und D teilst.

P(D | A) = P(D ∩ A) / P(A) = (9/500) / (0.6) = 3/100 = 0.03

Das sind unsere 3% die direkt im Baumdiagramm stehen. Die Pfadwahrscheinlichkeiten bilden also alle bedingte Wahrscheinlichkeiten ab. Bis auf die die am Ausgangspunkt starten.

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Aso ok danke.

Aber wie weißt du das P(A|D) gesucht ist?


Laut der Frage "Mit welcher WS stammt eine defekte Lampe aus dem Werk A?" finde ich das man P(D|A) berechnen muss, denn P(D|A) ist die Wahrscheinlichkeit der defekten Lampen, unter der bedingung von Werk A.

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Mit welcher WS stammt eine defekte Lampe aus dem Werk A?

Also wir halten jetzt gerade eine defekte Lampe in der Hand. Das weiß ich und das ist meine Vorbedingung. Und jetzt will ich die Wahrscheinlichkeit das diese Lampe die ich in den Händen halte aus Werk A ist. 

Also brauche ich von allen Defekten Lampen genau den Anteil der aus A ist.