∀ wird als "Für alle" formuliert. ∃ wird als "es existiert" oder "es gibt" gesprochen. Der Doppelpunkt (:) wird als "für die gilt" formuliert. ∈ wird als "ist Element von" oder "Element aus" oder auch "aus den" ausgeprochen.
Demnach:
(i)(a) Für alle x Element aus den natürlichen Zahlen, gibt es ein y Element aus den natürlichen Zahlen, für die gilt, dass x = y².
(i)(b) Für alle y Element aus den natürlichen Zahlen, gibt es ein x Element aus den natürlichen Zahlen, für die gilt, dass x = y².
(i)(c) Es existiert ein y Element aus den natürlichen Zahlen, sodass für alle x Element aus den natürlichen Zahlen gilt, dass x = y².
(ii)(a) Ist falsch. Zum Beispiel zu x = 3 gibt es kein y aus den natürlichen Zahlen sodass 3 = y², denn wenn man das umstellt erhält man das \( y = \sqrt{3} ∉ \mathbb{N}\)
(ii)(b) Wahr, denn wenn du eine natürliche Zahl quadrierst erhältst du wieder eine natürliche Zahl. Das Ganze lässt sich begründen, da die natürlichen Zahlen abgeschlossen bezüglich der Multiplikation sind. Das heißt wenn man zwei natürliche Zahlen multipliziert erhält man wieder eine natürliche Zahl und Potenzieren ist nichts anderes als multiplizieren.
(ii)(c) Falsch, denn zum Beispiel für y = 4 ist x = 4² = 16. Das heißt die Gleichung ist erfüllt wenn x = 16 ist. Das ist aber nur ein x und nicht jedes beliebige x aus den natürlichen Zahlen.
(iii) Bei der Verneinung nimmt man genau das Gegenteil der Quantoren das heißt aus ∀ wird ∃ und aus ∃ wird ∀. Außerdem vergiss nicht auch die Gleichung zu verneinen, das heißt aus = wird ≠.
Ich mach dir das mal mit der Aufgabe (a) vor:
¬(∀ x ∈ \( \mathbb{N} \) ∃ y ∈ \( \mathbb{N} \) : x = y²) ⇔ ∃ x ∈ \( \mathbb{N} \) ∀ y ∈ \( \mathbb{N} \) : x ≠ y²
Sprachlich: Es gibt ein x Element aus den natürlichen Zahlen, sodass für alle y Element aus den natürlichen Zahlen gilt, dass x ungleich y² ist.
Versuch dazu dann mal (b) und (c) selbst. Falls du Fragen hast, dann meld dich gerne :)
