Übersetzung/Logik: Warum gilt n ∈ ℕ?

Question

Aufgabe:

Ich soll folgende Aussage in formale Schreibweise der Logik übersetzt werden:

Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so dass fuer alle n ≥ N die Ungleichung |a - a(n)| < ε

Die angebotene Lösung ist:

\( \forall \epsilon>0: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \in \mathbb{N}: n \geq N \Rightarrow|a-a(n)|<\epsilon \)

Frage:

Warum gilt n ∈ ℕ?

Answer 1

Es steht nirgendwo, dass irgendetwas gilt. Auch nicht, dass \(n\in\mathbb{N}\) gilt. Die Aufgabe ist hier eine reine Lese-Schreibübung, dazu muss man nichts über Logik wissen, nur die logischen Symbole kennen und wie diese gelesen werden.

(editiert nach Erläuterung, was FS meinte).

Comments

Ich finde die Aussage, dass n ein Element der natürliche Zahlen sein soll einfach nicht im Text. n könnte doch auch einem anderen Zahlenraum angehören.

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Ja, aber dann ist die Voraussetzung nicht erfüllt und der Schluß somit immer wahr. Schau Dir die Wahrheitstafel einer Implikation an.

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Achso, da hast Du in der Tat recht. Das ist unsorgfältig in der Aufgabenstellung bzw. in der Lösung, die korrekte Lösung sollte sein ".... \(\exists n:\; n\ge N...\).

Die "angebotene Lösung" wäre korrekt, wenn in der Aufgabenstellung auch \(n\in\mathbb{N}\) stehen würde.

So passt es jedenfalls nicht. Um Sinn oder logische Überlegungen geht es hier nicht, nur um die reine Umsetzung.

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Danke, das war mein Gedanke.

Answer 2

Vermutlich wird \(n \geq N \Rightarrow|a-a(n)|<\epsilon \) nur für alle \(n\in \mathbb{N}\) gefordert, weil das der Definitionsbereich der Abbildung \(a\) ist.

Aus dem Satz "Zu jedem ε > 0 gibt es ein N ∈ ℕ, so dass fuer alle n ≥ N die Ungleichung |a - a(n)| < ε" ist nicht zu erkennen, warum \(n\in \mathbb{N}\) sein muss.