Folgt aus m|(a-b), dass m|a und m|b gilt?

Question

Aufgabe:

Beweise Symmetrie und Transitivität für m∈ℕ und a,b,c∈ℤ.

Problem/Ansatz:

Ich würde in meinem Beweis gerne benutzen m|a-b ⇒ m|a ∧ m|b ⇒m|b-a. Ich habe das nicht im Vorlesungsskript gefunden und bin mir unsicher ob das gilt.

Comments

Mir ist gerade selber aufgefallen, dass das Quatsch ist, die Frage ist also beantwortet!

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Genau. Wenn die Differenz zweier Zahlen gerade ist, bedeutet es nicht, dass jede Zahl gerade ist.

Answer 1

Es gilt nicht.

Gegenbeispiel:  5|(17-2) , aber 5 teilt weder 17 noch 2.

Ein richtiger Beweisweg wäre:

Aus m|a-b folgt: Es gibt eine ganze Zahl k mit k*m=(a-b).

Dann ist (-k) auch eine ganze Zahl, und  -k*m=(-1)*(a-b) = b-a.

Also ist m auch ein Teiler von (b-a).