Verknüpfung in Gruppen

Question

Aufgabe:

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

Definition Es seien $G$ und $H$ zwei Gruppen. Dann definieren wir auf $G \times H$ eine Verknüpfung * wie folgt
$\left(g_{1}, h_{1}\right) *\left(g_{2}, h_{2}\right)=\left(g_{1} g_{2}, h_{1} h_{2}\right) .$
Man kann leicht zeigen, dass $G \times H$ mit dieser Verknüpfung eine Gruppe bildet. Das neutrale Element ist $\left(e_{G}, e_{H}\right)$ und das inverse Element zu $(g, h)$ ist $\left(g^{-1}, h^{-1}\right)$. Die Gruppe $G \times H$ heißt das direkte Produkt der Gruppen $G$ und $H$.

Beispiel 2.3.4 Wir betrachten die Gruppe $\mathbb{Z}_{2} \times \mathbb{Z}_{2}$. Die Gruppentafel sieht wie folgt aus
\begin{tabular}{c|cccc}
$*$ & $(0,0)$ & $(0,1)$ & $(1,0)$ & $(1,1)$ \\
\hline$(0,0)$ & $(0,0)$ & $(0,1)$ & $(1,0)$ & $(1,1)$ \\
$(0,1)$ & $(0,1)$ & $(0,0)$ & $(1,1)$ & $(1,0)$ \\
$(1,0)$ & $(1,0)$ & $(1,1)$ & $(0,0)$ & $(0,1)$ \\
$(1,1)$ & $(1,1)$ & $(1,0)$ & $(0,1)$ & $(0,0)$
\end{tabular}

Ich checke nicht so recht wieso aus bspw. (0,1)*(1,1)=(1,0) wird. Also die ganze Tafel verstehe ich nicht :D

Answer 1

$\mathbb{Z}_2$ ist eine Gruppe nur unter der Addition.

Daher kann hier nur gemeint sein $(a,b)*(c,d)=(a+c, \, b+d)$.

Answer 2

Ich nehme mal ganz stark an, dass mit der Verknüpfung " * " im konkreten Beispiel die Addition der entsprechenden Werte gemeint ist.

Comments

"... die Addition der entsprechenden Werte gemeint ist."

Ja, aber Addition modulo 2!

---

Logisch. Wir befinden uns in $\mathbb{Z}_2$ .