Welche Wahrscheinlichkeit besteht hierfür? Genau ein Bube im Skat

Question

Aufgabe:

Bei einem Skatspiel erhält jeder der drei Spieler 10 Karten, während die restlichen beiden Karten in den Skat gelegt werden.

a) Felix hat genau zwei Buben und 8 weitere Karten auf der Hand und hofft, dass genau ein weiterer Bube im Skat liegt. Welche Wahrscheinlichkeit besteht hierfür?

Problem/Ansatz:

Von den 32 Karten hat Felix 10, von denen zwei Buben sind. Das heißt, dass nur noch 22 Karten übrig sind, von denen zwei Buben sein müssen.

Diese Buben können nun sowohl im Skat, als auch in einem der Haufen der anderen liegen.

D.h. für Felix, per Zufall einen Buben zu ziehen hat die Wahrscheinlichkeit \( p= \frac{2}{22} \)

Mein Ansatz ist jetzt:             \(P(X)= \begin{pmatrix} 22\\1 \end{pmatrix} \cdot (\frac{2}{22})^1 \cdot ( \frac{20}{22})^{21}\)

Haut das so hin? Ich bin beim Binomialkoeffizient noch ein bissel unsicher, ob ich den hier richtig benutzt habe, zumal ich auch nicht weiß, ob ich damit dem Umstand, dass der Bube tatsächlich im Skat liegt und nicht beide Buben auf die anderen beiden Haufen verteilt werden, gerecht werde.

Danke euch schonmal für die Hilfe! :)

Answer 1

\(\frac{\text{Anzahl der günstigen Ergebnisse}}{\text{Anzahl der möglichen Ergebnisse}}\)

Anzahl der möglichen Ergebnisse: Aus den 22 Karten werden 2 ausgewählt und in den Skat gelegt. Dazu gibt es \(22\choose 2\) Möglichkeiten.

Anzahl der günstigen Ergebnisse: Aus den 2 Buben wird einer ausgewählt. Dazu gibt es \(2\choose 1\) Möglichkeiten. Aus den 20 restlichen Karten wird eine Karte ausgewählt. Dazu gibt es \(20\choose 1\) Möglichkeiten. Insgesamt gibt es daher \({2\choose 1}\cdot {20\choose 1}\) günstige Möglichkeiten.

\(P(X)= \begin{pmatrix} 22\\1 \end{pmatrix} \cdot (\frac{2}{22})^1 \cdot ( \frac{20}{22})^{21}\)

Das sieht nach Binomialverteilung aus. Die darf hier nicht verwendet werden, weil ohne Zurücklegen gezogen wird. Obige Überlegungen führen zu der hypergeometrischen Verteilung.

Comments

Danke! Ich habe inzwischen sogar rausgefunden, dass es auch ganz billig mit einem Baumdiagramm geht :D ist halt verwirrend, dass man sich nur auf den Skat bezieht und die anderen Haufen nicht beachten soll. Man kommt über die Pfadregeln dann zum gleichen Ergebnis.