Bestimmen Sie die allgemeine Lösung DGL

Question

Aufgabe:

\( y^{\prime \prime}-12 y^{\prime}+11 y=e^{x} \).

a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung.
b) Wandeln Sie den homogenen Teil der gegebenen Gleichung um in ein System 1. Ordnung und lösen Sie dieses

Problem/Ansatz:

Für a) habe ich Allgemeine Lsg.:
\( y(x)=c_{1} e^{11 x}+c_{2} e^{x}-\frac{1}{10} x e^{x} \)

Ist das korrekt?

Für b) benötige ich Hilfe, da ich nicht weiß, wie ich da vorgehen soll.

Ich hoffe jemand kann mir da weiterhelfen. Vielen Dank.

Answer 1

Hallo,

a) stimmt

b) homogener Teil: y'' -12y' +11y=0

umstellen nach y''

y''= 12y' -11y

z₁=y , z₂=y'

->z₁'=z₂

z₂'= 12z₂ -11z₁

--y '= \( \left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ -11 & 12\end{array}\right) \) y

Lösung z. B via Eigenwerte und Eigenvektoren

Lösung:

\( y=c_{1} e^{11 x}\left(\begin{array}{c}1 \\ 11\end{array}\right)+c_{2} e^{x}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \)