Wie kann ich lim supμ(En)≤μ(lim sup(En)) mit μ(⋃En)<∞ beweisen?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

3. Show that if $\mu\left(\cup_{n \geq 1} E_{n}\right)<+\infty$, the inequality
$\limsup _{n \rightarrow \infty} \mu\left(E_{n}\right) \leq \mu\left(\underset{n \rightarrow \infty}{\limsup } E_{n}\right)$
holds and provide an example for which the inequality is strict.
$B_{n}=U_{k=n}^{\infty} E_{k} \Rightarrow \bigcap_{n \geqslant 1} B_{n}=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sup E_{n}$. Further since
$B_{n} \leq B_{2} \leq \ldots \quad B_{n} \supseteq E_{n} \Rightarrow \mu\left(E_{n}\right) \leqslant \mu\left(B_{n}\right) \Rightarrow \sup _{n \geqslant n} \mu\left(E_{n}\right) \leqslant \mu\left(B_{n}\right)$

Problem/Ansatz:

Nun komme ich nicht mehr weiter. Anscheinend muss ich wahrscheinlich den Hinweis in der Aufgabe benutzen, weiss aber nicht wie. Wie kann ich meinen Beweis fortführen?

Answer 1

$\begin{aligned} \mu\Bigl( \limsup_{n \to \infty} E_{ n} \Bigr) = \mu\biggl( \bigcap_{ n\geqslant 1}^{ } \bigcup_{ k\geqslant n}^{ } E_{ k} \biggr) \stackrel{( *) }{=} \lim_{n \to \infty } \mu\biggl( \bigcup_{ k\geqslant n}^{ } E_{ k} \biggr) \geqslant \lim_{n \to \infty } \sup_{ k \geqslant n} \mu( E_{ k} ) = \limsup_{n \to \infty} \mu( E_{ n} ) .\end{aligned}$

In $( *)$ musst du das Gegeben verwenden, denn nur dann gilt die Stetigkeit von oben.