Flächenberechnung mit vorgestellter Nullstellenbestimmung

Question

Aufgabe:

Flächenberechnung mit vorgestellter Nullstellenbestimmung: Berechnen Sie den Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse im angegebenen Intervall bzw. unter Beachtung der jeweiligen Vorgabe:

Funktion:

1/4x^3 +1/2x^2 -2x

Intervall/Vorgabe: Gesamtinhalt der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse

Bitte kompletten Rechenweg anzeigen

Answer 1

Aloha :)

Die Nullstellen der Funktion$$f(x)=\frac{x^3}{4}+\frac{x^2}{2}-2x=\frac x4(x^2+2x-8)=\frac x4(x+4)(x-2)$$liegen bei \(x=-4\), \(x=0\) und \(x=2\).

Mit Hilfe einer Stammfunktion$$F(x)=\frac{x^4}{16}+\frac{x^3}{6}-x^2$$können wir daher die gesuchte Fläche wie folgt berechnen:$$\small A=\left|\int\limits_{-4}^0f(x)\,dx\right|+\left|\int\limits_{0}^2f(x)\,dx\right|=\left|F(0)-F(-4)\right|+\left|F(2)-F(0)\right|=\frac{32}{3}+\frac53=\frac{37}{3}$$

Comments

Hii, ich hab jetzt Als Flächeninhalt 37/3 raus, ist das richtig?

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uppss, hab es verpeilt zu scrollen, aber freut mich danke!

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