Ableitung Exponential Funktion

Question

Aufgabe:

Ableitung von e Funktion:

f(x)= x²*e^x-8e^x

Musterlösung: f‘(x)= 2x*e^x+x²*e^x-8e^x

Problem/Ansatz:

Ich habe zuerst versucht einfach x² abzuleiten und dachte der Rest bleibt stehen dann hatte ich 2x*e^x-8e^x. Ich habe dann gemerkt das ich wahrscheinlich die Produktregel anwenden muss. Warum ist mir aber nicht richtig klar (habe mir jetzt aufgeschrieben, dass immer wenn ein Mal vorkommt die Produktregel benutzt wird und bei +/- Kettenregel?).

Dann habe ich u= x² v= e^x-8e^x in die Formel eingesetzt und habe dann 2x*e^x-8e^x+x²*e^x-8e^x raus. Ich weiß aber nicht wo der Fehler liegt um mit der Lösung übereinzustimmen. Danke Schonmal

Answer 1

Produktregel

(u·v)' = u'·v + u·v'

f(x) = x²·e^x - 8·e^x

f'(x) = (x²)'·e^x + x²·(e^x)' - 8·(e^x)'
f'(x) = 2·x·e^x + x²·e^x - 8·e^x

Ich bevorzuge es e^x auszuklammern.

f'(x) = e^x·(2·x + x² - 8)
f'(x) = e^x·(x² + 2·x - 8)

Comments

Das heißt bei der Rechnung wurde u= x²  und v=e^x-8e^x benutzt, oder wurde es anders aufgeteilt? Das erschließt sich mir nicht ganz. Da bei der Rechnung jeweils andere Zahlen bei u und v eingesetzt wurden. Erst für u=x² und dann x² *e^x? Danke Schonmal Ich glaube ich habe einen Denkfehler drin

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x² * e^x ist ein Produkt und wird mit der Produktregel angewendet.

Für - 8·e^x gilt die Summenregel. D.h. der Term wird alleine abgeleitet.

Du weißt, dass du bei f(x) = ax² + bx + c z.B. jeden Summanden einzeln ableiten darfst.

Answer 2

Noch eine Möglichkeit:

\(f(x)= x^2 \cdot e^x-8e^x\)

\(f(x)=  e^x \cdot(x^2-8)\)

\(u=e^x\)    → \(u´=e^x\)

\(v=x^2-8\)  →\(v´=2x\)

Produktregel:

\(u´\cdot v +u\cdot v´\)

\(f´(x)=  e^x \cdot(x^2-8)+e^x \cdot 2x=e^x \cdot(x^2+2x-8) \)

Comments

Danke, das mit dem Ausklammern hat mir geholfen.

Answer 3

Du musst beide Regeln anwenden:

u= 2x , u' = 2

v= e^x , v' = e^x

8e^x bleibt 8e^x

https://www.ableitungsrechner.net/

Comments

Woher hast du

v = e^(-8x)

Übersehe ich das in der Aufgabe? Oder interpretiere ich etwas falsch?

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Ich habe das x überlesen und e^(-8x) interpretiert.

Wieder vielen Dank. Ich habe es korrigiert.

Dank an den big brother. Keep watching me! :)

Answer 4

(habe mir jetzt aufgeschrieben, dass immer wenn ein Mal vorkommt die Produktregel benutzt wird

Interessante Formulierung, aber richtig. In Produkten kommt ja immer ein Mal vor.

und bei +/- Kettenregel?).

Die Ketteregel wird für Funktionen von Funktionen benutzt. Beispiel f(x)=(sin(x))².

Comments

habe mir jetzt aufgeschrieben, dass immer wenn ein Mal vorkommt die Produktregel benutzt wird

Bei 2·x wendet man statt der Produktregel lieber die Faktorregel an, obwohl ein mal drin vorkommt. Man könnte allerdings auch die Produktregel anwenden.

Man wendet die Produktregel an, wenn man mehrere Faktoren hat, in denen die abzuleitende Variable vorkommt.

Also bei z.B. bei (x - 3)³·(x - 4)²