Berechnen Sie den Gradienten von f im Punkt P und zeichnen Sie den Gradientenvektor in Ihre Zeichnung!

Question

Text erkannt:

$f(x, y)=\sqrt{2 y+x^{2}-3}$
(a) Skizzieren Sie den Definitionsbereich von $f$ !
(b) Zeichnen Sie die Niveaulinie der Funktion $f$ durch den Punkt $P=(3,-1)$ ! (Bestimmen Sie zuerst das Niveau $c$ für $f(x, y)=c$ )
(c) Berechnen Sie den Gradienten von $f$ im Punkt $P$ und zeichnen Sie den Gradientenvektor in Ihre Zeichnung! In welcher Beziehung steht der Gradient in Bezug auf die Niveaulinie?
(d) Berechnen Sie die Richtungsableitung von $f$ im Punkt $P$ in Richtung des Gradienten!

Aufgabe:

Problem/Ansatz: Hi, ich kenn mich aus bei den ersten Punkt, hab Schwierigkeiten bei b) mit der Bestimmung von f(x,y)=c wie soll ich das bestimmen und könnt ihr mir bei c) und d) helfen?Danke im Voraus!

Answer 1

$\sqrt{2 y+x^{2}-3} = c$ geht nur für c≥0 und dann kann man quadrieren

          $2 y+x^{2}-3 = c^2$

          $y = -0,5x^{2} +1,5+0,5c^2$

Also ist die Niveaulinie immer eine nach unten geöffnete Parabel

mit Scheitel auf der y-Achse bei 1,5+0,5c².

Also berechne f(3;-1)=√(-2+9-3)=2 und du hast im Punkt $P=(3,-1)$

die Niveaulinie mit c=2, also die Parabel mit y=-0,5x² +3,5.

Plotlux öffnen

f₁(x) = -0,5·x²+3,5P(3|-1)

c) Gradient ist doch immer der Vektor mit den partiellen Ableitungen

$grad_P (f)=\begin{pmatrix} f_x(3;-1)\\f_y(3;-1) \end{pmatrix}$

Vergleiche auch

https://www.mathelounge.de/199038/gradientenvektor-im-punkt-und-rich…

Comments

Danke!!  Wie sieht aus bei d)?

---

d) Skalarprodukt:  gradient mal gradient