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Die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( \operatorname{grad}_{(x, y)} f=\left[\begin{array}{c}2 y^{2}+4 x^{2}+10 x \\ 4 x y+8 y\end{array}\right] \)
hat vier kritische Punkte, darunter \( (0,0),\left(-\frac{5}{2}, 0\right) \) und \( (-2, \sqrt{2}) \).
a) Berechnen Sie den vierten kritischen Punkt \( \vec{x}_{4} \) und geben Sie inn in der Form \( (a, b) \) an.
\( \vec{x}_{4}= \)

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Das geht natürlich. Du brauchst ja nur den Gradienten gleich Null setzen.

blob.png

von 391 k 🚀

Ahh super, Dankeschön!

Sicherlich kann man auch die Hessematrix davon bestimmen, wenn ja wie, also wie muss ich das eintippen?

Na die Funktion zu der du den Gradienten hast ist sicherlich

f(x,y) = 4/3·x^3 + 5·x^2 + 2·x·y^2 + 4·y^2 + c

Dazu suchst du jetzt die Hesse-Matrix. Wie das geht weiß ich

https://www.wolframalpha.com/input/?i=Hessian+matrix+4%2F3%C2%B7x%5E3%2B5%C2%B7x%5E2%2B2%C2%B7x%C2%B7y%5E2%2B4%C2%B7y%5E2%2Bc

Wie das direkt aus dem Gradienten funktioniert, weiß ich nicht.

Oh, wie geht denn das, dass man die Funktion davon bilden kann, gibt es dafür auch einen Rechner :D

Du musst die erste Funktion des Gradienten nach x integrieren und die zweite nach y. Dann verschmelzt du beide Stammfunktionen zu einer gemeinsamen.

ahh oki Dankeschön!!

Da \(\left(-2, \sqrt{2}\right)\) als kritischer Punkt bereits bekannt war, muss hier(!) \( \left(-2,{-\sqrt{2}}\right) \) ebenfalls ein kritischer Punkt sein. Der war aber nicht gegeben, also ist es der noch fehlende. Das geht ganz ohne Rechnung.

Der war aber nicht gegeben, also ist es der noch fehlende. Das geht ganz ohne Rechnung.

Völlig richtig. Dazu brauchst man sich ja nur mal die offensichtliche Skizze zu anschauen.

Geht auch ohne Skizze: Für \(y=-2\) wird die erste Komponente zu einem rein quadratischen Term in \(y\), dessen Nullstellen symmetrisch sein müssen.

Hessemateix.png


Kann mir jemand sagen, wie ich die \( \frac{4x^3}{3} \) richtig da eintippe, habe es auch schon mit Klammern versucht aber es kommt immer was anderes außer dieser Bruch..

Es kommt nur eine andere Darstellungsweise heraus. Wozu brauchst du genau die Darstellungsweise mit 4x^3 im Zähler?

Mhh, dann kommt aber was falsches heraus.Die Stammfunktion vom ersten kam so raus

Vielleicht sagst du lieber wie du auf deine abweichende Funktion

y = 4/3·x^3 + 5·x^2 + 2·x·y^2 + 2·x^2·y + 8·x·y

kommst. Berechne dort doch mal den Gradienten von hand. Das stimmt meiner Meinung nach nicht. Die stimmt ja auch nicht mit meiner überein die ich benutzt habe.

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