Aloha :)
Hier sollen die Kosten \(€\) unter einer konstanten Nebenbedinung \(F\) minimiert werden:$$€(k,\ell)=25\cdot k+15\cdot \ell\to\text{Minimum}\quad;\quad F(k,\ell)=k\ell^3\stackrel!=380=\text{const}$$
Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion \(€\) eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung \(F\) haben, ist das sehr übersichtlich:$$\operatorname{grad}€(k,\ell)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(k,\ell)\implies\binom{25}{15}=\lambda\cdot\binom{\ell^3}{3k\ell^2}$$Die Konstante \(\lambda\) heißt Lagrange-Multiplikatior und darf nicht Null sein (andernfalls würden wir die Nebenbedingung ja nicht berücksichtigen). Er ist hier nicht von Interesse, daher dividieren wir die Gleichung der ersten Komponente durch die Gleichung der zweiten Komponente, um ihn loszuwerden:$$\frac{25}{15}=\frac{\lambda\cdot\ell^3}{\lambda\cdot3k\ell^2}=\frac{\ell}{3k}\implies\pink{\ell=5k}$$
Die pinke Lagrange-Forderung für ein Extremum setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$380=k\pink\ell^3=k(\pink{5k})^3=125k^4\implies k^4=\frac{380}{125}=\frac{76}{25}\implies k=\sqrt[4]{\frac{76}{25}}\approx1,320439$$
Beachte, dass die Varialble \(k\) positiv sein muss. Wir setzen den Wert wieder in die Nebenbedingung ein, diesmal aber, um \(\ell\) zu erhalten:$$k\ell^3=380\implies\ell^3=\frac{380}{k}\implies\ell=\sqrt[3]{\frac{380}{1,320439}}\approx6,602196$$
Die Menge des Inputfaktors Arbeit beträgt also \(\ell\approx6,6022\).
