Wie komm ich von __ auf __ (Umformung)

Question

Wie komm ich von

\( \cos ^3\left(x\right)+3\cos ^2\left(x\right)i\sin \left(x\right)+3\cos \left(x\right)\left(i\sin \left(x\right)\right)^2+\left(i\sin \left(x\right)\right)^3 \)

auf

\( \left(4\cos ^3\left(x\right)-3\cos \left(x\right)\right)+\left(3\sin \left(x\right)-4\sin ^3\left(x\right)\right)i \) ?

Habe schon mit cos(x)=Re(e^xi) und sin(x)=Im(e^ix) rumgespielt aber bin jedes Mal gescheitert...

Answer 1

Der Summand \( 3\cos \left(x\right)\left(i\sin \left(x\right)\right)^2\) lässt sich wegen i²=-1 und sin²(x)=1-cos²(x) schreiben als

\( 3\cos \left(x\right)\left(\cos^2(x) -1\right)^2\).