Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Aufgabe 2) Wir fangen mit der 2-ten Aufgabe an, weil die zum Verstehen besser ist.
Ein Vektor (ba) beschreibt eine gerichtete Strecke im Koordinatensystem. Du startest dabei von deinem aktuellen Punkt im Koordinatensystem und gehst a Einheiten parallel zur x-Achse und b Einheiten parallel zur y-Achse. Wenn a ober b negativ sind, gehst du die Schritte in die entsprechenden Gegen-Richtungen.
[Normalerweise haben die Koordinaten-Achsen kleine Richtungspfeile, die x-Achse in der Regel rechts und die y-Achse in der Regel oben. Sie geben die Richtung an, in die du bei positivem a bzw. positivem b gehen musst.]
Wenn kein Startpunkt angegeben ist, kannst du davon ausgehen, dass der Start im Nullpunkt (0∣0) des Koordinatensystems liegt.
zu a) Wir starten am Nullpunkt (0∣0) und gehen 1 Einheit entlang der x-Achse und 2 Einheiten entlang der y-Achse, das entspricht dem Vektor (21). Wir landen dann im Punkt A1(1∣2). Von diesem neuen Startpunkt aus gehen wir nun 4 Einheiten entlang der x-Achse und eine Einheit entlang de y-Achse, das entspricht dem Vektor (14). Unser Endpunkt ist dann A2(5∣3). Die Vektoren werden also wie folgt addiert:(21)+(14)=(35)
zu b) Wir starten wieder am Nullpunkt (0∣0). Der erste Weg führt uns (-2) Einheiten parallel zur x-Achse [minus, weil wir nach links gehen] und 4 Einheiten parallel zur y-Achse. Wir landen im Punkt B1(−2∣4). Von dort aus gehen wir (-1) Einheit parallel zur x-Achse und (-6) Einheiten parallel zur y-Achse [minus, weil wir nach unten gehen]. Das entspricht dem Vektor (−6−1). Unser Endpunkt ist dann B2(−3∣−2). Die Vektoren werden wie folgt addiert:(4−2)+(−6−1)=(−2−3)
zu c) Da du ja nun schon trainiert bist, hier die Kurzform:(21)+(14)+(−21)=(16)
zu d) Hier haben wir einen geschlossenen Weg, der uns zum Ausgangspunkt zurückführt:(−21)+(42)+(−2−3)=(00)
Wenn du am Nullpunkt startest, entsprechen die Koordinaten des Summen-Vektors den Koordinaten des Endpunktes.
Aufgabe 1) Hier wird das 2-dimensionale Koordinatensystem bestehend aus x-Achse und y-Achse um eine dritte z-Achse erweitert. In unseren Vektoren finden wir dafür eine zusätzliche dritte Komponenten, die uns angibt, wie weit wir parallel zur z-Achse laufen sollen.
Da dir ja nun bereits klar geworden ist, wie man Vektoren bzw. Strecken addiert, sollten die ersten beiden Aufgaben keine Problem sein:⎝⎛159⎠⎞+⎝⎛5152⎠⎞=⎝⎛62011⎠⎞;(252)+(12)=(264)
Der Fall (c) ist etwas tricky. Im ersten Vektor hast du nur 2 Komponenten. Dieser Vektor (172) beschreibt also eine Strecke in der xy-Ebene. Die z-Koordinate ändert sich entlang dieser Stecke nicht, das heißt, wir gehen 0 Einheiten entlang der z-Achse. Wir ergänzen daher die dritte Komponente 0, um die Addition durchführen zu können:(172)+⎝⎛1751⎠⎞=⎝⎛2170⎠⎞+⎝⎛1751⎠⎞=⎝⎛19221⎠⎞
Die letzte Addition ist wieder titti:⎝⎛525125⎠⎞+⎝⎛777777⎠⎞=⎝⎛12102902⎠⎞