Zeige, dass {(a, b) ∈ N x N | ∃ n ∈ N : a = b * n} eine Äquivalenzrelation

Question

Aufgabe:

Zeige, dass R1 eine Äquivalenzrelation ist.

R1 = {(a, b) ∈ N x N | ∃ n ∈ N : a = b * n}

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht ganz, wie ich mit "n" umgehen soll. Zum Beispiel würde ich zeigen, dass R1 reflexiv ist. Sie ist reflexiv, wenn die Bedingung aRa erfüllt ist. Es ist klar, dass die Relation reflexiv ist, wenn n = 1. Aber bei n = 2 ist sie es nicht mehr. Muss ich eine Fallunterscheidung machen, oder ist damit gemeint, dass die Relation nur für ein beliebiges, aber festes n gilt?

Comments

Zwei Elemente a,b gehören zu R, wenn es (für diese beiden) ein n gibt mit a=b*n. Diese n darf von a,b abhängen - und hängt auch im Allgemeinen von a,b ab. Zum Beispiel ist 4R2 mit n=2 und 333R3 mit n=111......

Übrigens ist die Bezeichnung für die Eigenschaft, dass alle a mit sich selbst in Relation stehen "reflexiv" und nicht tranitiv

Außerdem würde ich mal den Aufgabentext checken, ob da steht "zeige" oder "prüfe"

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Vielen Dank. In der Aufgabe steht "Zeige". Ich habe reflexiv mit transitiv verwechselt, ich meinte reflexiv.

Für Reflexivität wollte ich folgendermaßen schreiben: {(a, a) ∈ N x N | ∃ n ∈ N : a = a * n}, aRa gilt genau dann, wenn n = 1.
Nun stelle ich mir Fragen zur Transitivität. Wenn aRb und bRc gelten, muss aRc gelten. Nehmen wir an, a = 4, b = 2, c = 1. Dann haben wir 4R2 mit n = 2 (aRb); 2R1 mit n = 2 (bRc); 4R1 mit n = 4, also aRc. Ich frage mich, ob ich einfach n ändern kann. Falls ja, ist R transitiv.
Dies ist kein Beweis, den ich abgeben würde, ich möchte es nur für mich selbst klären.

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Man kann es so aufschreiben: Wenn aRb und bRc, dann gilt

$$aRb \Rightarrow \exists n \in N:\quad a=bn$$

$$bRc \Rightarrow \exists k \in N:\quad b=ck$$

Daraus folgt: \(a=bn=c(kn)\). Also aRc wegen \(nk \in \N\)

Jetzt bin ich auf die Symmetrie gespannt.

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Hast Du mal die Def. laut gelesen? Da steht:

.... wenn es ein n gibt mit...

Kläre also, ob 4R2 gilt nach dieser Def., dann ob 2R1, usw..

Und lies auch "4R2" laut und prüfe, ob beim Lesen ein n vorkommt.

Erklärt hat mathhilf das ganze ja schon, dies ein weiterer Versuch.

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Danke, jetzt habe ich verstanden.

Für Symmetrie ist es,

wenn (a,b) ∈ R1, dann (b,a) ∈ R1. Also a = b * n, dann b = a * (1/n), aber 1/n nicht aus N ist. D.h. R1 ist nicht symmetrisch

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Dass es nicht symmetrisch ist, zeigt man durch ein konkretes Gegenbeispiel, nicht durch allgemeine Betrachtungen.

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Danke nudger, wusste nicht, dann einfach (6;3): 6 = 3 * n, wo n = 2. Und (3;6): 3 = 6 * n, wo n = 1/2, aber 1/2 nicht aus N ist. Dann folgt, dass R1 nicht symmetrisch ist

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Der Klarheit halber schreibt man es am besten so: Es gilt 6R3 wegen..., aber nicht 3R6, weil dann...., also ist R nicht symmetrisch.

Wiederhole die Aussagenlogik und den Umgang mit math. Schreibweisen (und Leseweisen!), das braucht man andauernd.

Answer 1

Es ist klar, dass die Relation reflexiv ist, wenn n = 1. Aber bei n = 2 ist sie es nicht mehr.

Es heißt doch:
"Es gibt ein n ...", also ist es so, wenn man eines finden kann, wie hier die 1.

Aber symmetrisch ist sie nicht; denn zu (6;2) gibt es ein n mit 6=2*n,

nämlich 3.

Zu (2;6) geht es aber nicht; denn für 2=6*n müsste n=1/3 sein,

also nicht aus ℕ

Comments

Die (angeblich "zu beweisende") Aussage ist doch einfach falsch, oder ?

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Ja, so sehe ich es auch.