0 Daumen
1,6k Aufrufe

Sei R eine reflexive Relation auf einer Menge M. Zeigen Sie: R ist eine Äquivalenzrelation auf M ⇔ Für alle x, y, z ∈ M gilt: [x R z ∧ y R z ⇒ x R y].

Äquivalenzrelation heißt ja reflexiv, symmetrisch und transitiv. Reflexivität ist ja aus der Aufgabenstellung schon gegeben und muss nicht mehr bewiesen werden (oder?).

Symmetrie:

x R z ∧ y R z [⇒ x R y] = y R z ∧ x R z

⇒ y R x, d.h. x R y ⇒ y R x. Stimmt das so?

Transitivität: Kann mir jemand da auf die Sprünge helfen?

von

2 Antworten

0 Daumen

Deine Überlegungen bis dahin sind alle richtig und

zur Transitivität benutze einfach die

schon bewiesenen Symmetrie:

x R z ∧ z R y ⇒ x

x R z ∧ y R z ⇒ x R y.  q.e.d.

Denke auch an den Nachweis der Rückrichtung !

von 255 k 🚀

Deine Überlegungen bis dahin sind alle richtig

Nein.
Gegenbeispiel :  aRb ⇔ a^2 < 3-b auf ℕ*

0 Daumen

es handelt sich um eine genau-dann-wenn-Aussage, also ist ein Beweis in beide Richtungen erforderlich. Siehe auch hier:

https://www.mathelounge.de/583593/sei-eine-reflexive-relation-zeigen-eine-aquivalenzrelation

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community