Beweise mit vollständiger Induktion Aufgaben

Question

Könnte mir jemand bei diesen Aufgaben helfen?
Ich verstehe Induktion irgendwie noch nicht so wirklich und tue mich besonders schwer, sie wirklich auf neue Beispiele anzuwenden.

Text erkannt:

Beweisen Sie jeweils mit vollständiger Induktion für alle \( n \in \mathbb{N} \) :
a) (3 P.) \( n^{3}-n \) ist ohne Rest durch 3 teilbar. Anmerkung: Für (3 P.) ist ein Induktionsbeweis verlangt. Wenn Sie zusätzlich einen Beweis ohne Induktion führen, gibt es (1 Bonus-P.).
b) (3 P.) \( \sum \limits_{j=0}^{n}(j ! \cdot j)=(n+1) !-1 \)
c) (3 P.) \( \sum \limits_{j=0}^{n} j^{2}=\frac{1}{6} \cdot n \cdot(n+1) \cdot(2 n+1) \)
d) Wir definieren \( x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots \) rekursiv: \( x_{0}:=1 \) und \( \forall n \in \mathbb{N}: x_{n+1}:=1+\frac{1}{x_{n}} \).
(3 P.) Sei \( g:=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \). Sie dürfen verwenden, dass \( g>1 \) und \( g=1+\frac{1}{g} \). Beweisen Sie mit vollständiger Induktion, dass \( \forall n \in \mathbb{N}:\left|x_{n}-g\right| \leq \frac{1}{g^{n+1}} \).

Answer 1

Die Lösung für d):

Induktionsanfang: \(|x_0-g|=|1-g|=g^{-1}\) (entsprechend dem Hinweis), wie verlangt.

Induktionsschluss: Wenn für ein \(n \in \N\) gilt \(|x_n-g| \leq g^{-n-1} \; \ast\), dann folgt

$$|x_{n+1}-g|=|1+\frac{1}{x_n}-g|=|\frac{1}{x_n}-\frac{1}{g}|=\frac{|g-x_n|}{gx_n}\leq \frac{g^{-n-1}}{g \cdot 1}=g^{-n-2}$$

Bei der Ungleichung wurde die Induktionsvoraussetzung \(\ast\) benutzt, sowie die offensichtliche Eigenschaft, dass alle Folgenglieder größer gleich 1 sind.

Answer 2

\( n^{3}-n \) ist ohne Rest durch 3 teilbar.

n=1 dürfte klar sein. Wenn es für n gilt, dann hast du

\( (n+1)^{3}-(n+1)  =(n+1)\cdot( (n+1)^2 - 1) = (n+1)\cdot( (n^2+2n) \)

\(  = (n+1)\cdot( (n^2+2n) = n^3 + 2n^2 +n^2 + 2n = n^3 - n + 3n^2 + 3n \)

\( = n^3 - n + 3n^2 + 3n =   (n^3 - n) + (3n^2 + 3n)  \)

Beide Summanden durch 3 teilbar. Bingo!