Starthilfe bei der Cobb-Douglas Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion f : [0; ∞[→R,f(x) = a·xr mit
a,r > 0. Für diese Funktion liegt folgende Wertetabelle vor:

x	y
s	33e
5e	7t

Dabei sind s,t > 0 mit s ̸= 5e und 7t ̸= 3e (Die Zahl e ist die Euler’sche Zahl). Ergänzen
Sie die folgende Aussage mit den korrekten Zahlenwerten:

Für die Funktion f gilt

-r= \( \frac{[...] - ln(t)}{ln(s) - [....]} \)

-ln(a)= \( \frac{[...] ln(s)+ln(s)ln(t)-[...]}{ln(s)- [...]} \)

Habe kein Plan wie ich da anfangen soll bzw. welche Themen ausschlaggebend sind. Natürlich geht es um ln etc. aber finde leider keinen Start.

Danke schonmal im voraus!

Answer 1

Ausschlaggebend ist, was Funktionen überhaupt sind.

Funktionen ordnen jedem Eingabewert \(x\) einen Ausgabewert \(f(x)\) zu.

Die Funktiongleichung

        \(f(x) = a\cdot x^r\)

gibt an, wie der Ausgabewert aus dem Eingabewert berechnet werden kann.

x	y
s	33e
5e	7t

Dem Eingabewert \(s\) wird der Ausgabewert \(33\mathrm{e}\) zugeordnet. Also kann \(33\mathrm{e}\) berechnet werden, indem \(s\) für \(x\) in den Funktionsterm \(a\cdot x^r\) eingesetzt wird.

(1)        \(33\mathrm{e} = a\cdot s^r\).

Mit den gleichne Überlegungen kommt man zu der Gleichung

(2)        \(7t = a\cdot (5\mathrm{e})^r\).

Nun bestimmt man \(-r\) in diesem Gleichungssystem in Abhängigkeit von \(s\) und \(t\).

Comments

Wie bestimme ich -r in diesem Gleichungssystem in Abhängigkeit von s und t?

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Gleichungen durcheinander teilen, dann fällt das \(a\) weg.

Potenzgesetze anwendem, daqnn steht rechts nur noch eine Potenz mit Exponent \(r\).

Logarithmus ziehen.

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Ich komme leider nicht zur Lösung, irgendwie fällt mir das zu schwer.