Starthilfe bei der Cobb-Douglas Funktion

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Cobb-Douglas-Funktion f : [0; ∞[→R,f(x) = a·xr mit
a,r > 0. Für diese Funktion liegt folgende Wertetabelle vor:

x	y
s	33e
5e	7t

Dabei sind s,t > 0 mit s ̸= 5e und 7t ̸= 3e (Die Zahl e ist die Euler’sche Zahl). Ergänzen
Sie die folgende Aussage mit den korrekten Zahlenwerten:

Für die Funktion f gilt

-r= $\frac{[...] - ln(t)}{ln(s) - [....]}$

-ln(a)= $\frac{[...] ln(s)+ln(s)ln(t)-[...]}{ln(s)- [...]}$

Habe kein Plan wie ich da anfangen soll bzw. welche Themen ausschlaggebend sind. Natürlich geht es um ln etc. aber finde leider keinen Start.

Danke schonmal im voraus!

Answer 1

Ausschlaggebend ist, was Funktionen überhaupt sind.

Funktionen ordnen jedem Eingabewert $x$ einen Ausgabewert $f(x)$ zu.

Die Funktiongleichung

        $f(x) = a\cdot x^r$

gibt an, wie der Ausgabewert aus dem Eingabewert berechnet werden kann.

x	y
s	33e
5e	7t

Dem Eingabewert $s$ wird der Ausgabewert $33\mathrm{e}$ zugeordnet. Also kann $33\mathrm{e}$ berechnet werden, indem $s$ für $x$ in den Funktionsterm $a\cdot x^r$ eingesetzt wird.

(1)        $33\mathrm{e} = a\cdot s^r$.

Mit den gleichne Überlegungen kommt man zu der Gleichung

(2)        $7t = a\cdot (5\mathrm{e})^r$.

Nun bestimmt man $-r$ in diesem Gleichungssystem in Abhängigkeit von $s$ und $t$.

Comments

Wie bestimme ich -r in diesem Gleichungssystem in Abhängigkeit von s und t?

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Gleichungen durcheinander teilen, dann fällt das $a$ weg.

Potenzgesetze anwendem, daqnn steht rechts nur noch eine Potenz mit Exponent $r$.

Logarithmus ziehen.

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Ich komme leider nicht zur Lösung, irgendwie fällt mir das zu schwer.