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Aufgabe

Bestimmen Sie jeweils die Mengen aller x ∈ R, die folgenden Ungleichungen genügen.

||x−2|+2x|<5

Ich weiß nicht so recht, wie die das mit dem „doppelbetrag“ funktioniert

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1. Fall: x>=-2

|x-2+2x|<5

|3x-2| <5

a) x >= 2/3

3x-2 < 5


b) x<2/3

-3x+2 <5

x > -1


2. x<2

|-x+2+2x| <5

|x+2| <5

a) x>= -2

x+2 <5

x<3

b)

x<-2

-x-2 <5

x> -7

L = ...

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1. Fallunterscheidung x2x \geq -2??

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Fallunterscheidung 1. |x−2|+2x ≥ 0 und 2. |x−2|+2x < 0

Zu 1.: Fallunterscheidung 1.1. x-2 ≥ 0 und 1.2 x-2 < 0.

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Also wäre quasi ||x-2|+2x| dasselbe wie

|x-2|+2x und |x-2| ?

Nein, ||x-2|+2x| ist im Allgemeinen nicht das selbe wie |x-2|+2x und auch nicht das selbe wie |x-2|.

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Hier ist eine simple Lösung mit Testwerten.

Innerhalb der Beträge sind nur (stückweise) lineare Funktionen. Der Graph besteht also aus Geradenstücken.

Die äußere Betragsfunktion ändert ihr Verhalten bei

x2+2x=0x2=2x|x-2| + 2x = 0 \Leftrightarrow |x-2| =-2x

x0(x2)=2xx=2 \stackrel{x\leq 0}{\Leftrightarrow}-(x-2)=-2x\Leftrightarrow x=-2

Testwert: x=2\boxed{x=-2}

Die innere Betragsfunktion ändert ihr Verhalten bei

Testwert: x=2\boxed{x=2}

Jetzt brauchen wir nur noch je einen Testwert links und rechts der bereit gefundenen Testwerte:

Testwert x
-3
-2
2
3
x2+2x||x-2|+2x|
1
0
4
7

Jetzt kann man die Lösung der Ungleichung von der Tabelle sofort erschließen (verrate ich aber noch nicht, wie - mal selber probieren. Hinweis: Anstiege der Geradenstücke.)
Lösung: 7<x<213-7 < x < 2\frac 13

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