Zeige, dass RS = {(M1, M2) ∈ P(N) × P(N) | M1 ∩ M2 = S}, für ein festes S ∈ P(N), mit S ≠ N, S ≠ ∅ transitiv ist.

Question

Aufgabe:

Zeige, dass R^S = {(M₁, M₂) ∈ P(N) × P(N) | M₁ ∩ M2 = S}, für ein festes S ∈ P(N), mit S ≠ N, S ≠ ∅ transitiv ist.

Problem/Ansatz:

Mir ist nicht so klar, ob diese Relation transitiv ist. Ich habe zwei Ideen, eine - Relation transitiv, andere - nicht transitiv.

1. Ich habe so bewiesen, dass sie transitiv:

Sei M1RM2 <=> M₁ ∩ M₂ = S,

      M2RM3 <=> M2 ∩ M₃ = S,

für ein festes S ∈ P(N), mit S ≠ N, S ≠ ∅.

M₂ kommt in beiden Gleichungen vor => M₁, M₂, M₃ haben gemeinsam die gleiche Elemente, da sie mit ∩ verknüpft sind.

D.h. M₁ ∩ M₂ = S <=> M₁RM₃, also transitiv.

2. Aber ich kann auch mit dem Gegenbeispiel überlegen(vlt. verstehe ich nicht so ganz, was "ein festes S" ist):

Sei M₁ = {1, 2},

       M₂ = {2, 3},

       M₃ = {3, 4}.

Dann M₁ ∩ M2 = {2} = S₁,

           M₂ ∩ M3 = {3} = S₂.

Aber dann M₁ ∩ M₃ = ∅ = S₃. Nicht transitiv, da S₃ sollte nicht leer sein.

Ich kann nicht verstehen, wo mache ich die Fehler.

Answer 1

Dann M1 ∩ M2 = {2} = S1,

        M2 ∩ M3 = {3} = S2.

Aber: "ein festes S" heißt ja, dass in beiden Gleichungen das

gleiche S, also S1=S2=S sein muss.

Answer 2

Was hältst Du von folgendem Beispiel:

S:={1}, M1:={1,2,3}, M2:={1,4}, M3:={1,2}