vollständige Induktion, dass für n ≥ 0 gilt

Question

Aufgabe: wie kann ich diese lineare algebra aufgabe mit vollständiger Induktion lösen. ich habe vor allem ein problem mit der Induktionsschluss

Text erkannt:

Aufgabe 3.
Für \( A \in \mathbb{R}^{k \times k} \) und \( n \geq 1 \) ist
\( A^{n}:=\underbrace{A \cdot A \cdot A \cdots A}_{n \text {-mal }} \)
sowie per Konvention \( A^{0}:=I_{n} \). Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass für \( n \geq 0 \) gilt
\( \left(\begin{array}{lll} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)^{n}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & n & \frac{1}{2} n(n-1) \\ 0 & 1 & n \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) . \)

Answer 1

Aloha :)

Behauptung:$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}1 & n & \frac12n(n-1)\\0 & 1 & n\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$

Verankerung bei \(n=0\):$$\begin{pmatrix}1 & n & \frac12n(n-1)\\0 & 1 & n\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}=\mathbf I_3=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}^0\quad\checkmark$$

Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\):$$\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{n+1}=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{n}\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{n+1}}\!\!\!\!\!\!\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}{=}\begin{pmatrix}\red1 & \green n & \blue{\frac12n(n-1)}\\\red0 & \green 1 & \blue n\\\red0 & \green 0 & \blue 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}$$$$\phantom{\begin{pmatrix}\red1 & 1 & 0\\\red0 & 1 & 1\\\red0 & 0 & 1\end{pmatrix}^{n+1}}=\begin{pmatrix}\red 1 & \red1+\green n & \green n+\blue{\frac12n(n-1)}\\\red 0 & \red0+\green1 & \green 1+\blue n\\\red 0 & \red0+\green0 & \green 0+\blue 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & n+1 & \frac12(n+1)n\\0 & 1 & n+1\\0 & 0 & 1\end{pmatrix}\quad\checkmark$$

Comments

vielen dank für die rechnung, kannst du mir noch vielleicht kurz was dazu sagen?
was genau ist der IA, IV, IS ?
ich hab als IA n= 1 genommen , war des falsch ?

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Die Behauptung soll für \(n\ge0\) gezeigt werden, daher habe ich die Verankerung bei \(n=0\) gesetzt. Wenn du \(n=1\) als Verankerung wählst, fehlt dir der Beweis für den Fall \(n=0\).

Ansonsten habe ich doch alles geschrieben:

IA => Behauptung bzw. (Ind.Vor.)

IV => Induktionsverankerung bei \(n=0\).

IS => Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\)

Answer 2

Zeige für den Induktionsschritt

\( \begin{pmatrix} 1 & n & \frac{n}{2}(n-1)\\ 0 & 1 & n\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)· \( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)= \( \begin{pmatrix} 1 & n+1 & \frac{n}{2}(n+1)\\ 0 & 1 & n+1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)

Comments

das habe ich auch raus muss ich aber mit der Matrize rechts also nach = nicht weiter rechnen oder hört die rechnung da auf ?

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Auf der linken Seite musst du eine Matrizenmultiplikation durchführen und das Ergebnis mit der rechten Seite vergleichen.