0 Daumen
113 Aufrufe

Aufgabe:

Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass das Produkt für k=1 bis n-1(1+1/k)^k = n^n/n! für alle n∈N mit n ≥ 2 gilt.


Problem/Ansatz:

Der Induktionsanfang ist mir klar:

Für n=2 gilt k=1 bis 1 ( 1+1/k)^k = 2 = 2^2/2! stimmt.

Induktionsschritt: zu Zeigen, das Produkt k=1 bis n (+1/k)^k) = (n+1)^n+1/(n+1)!

Der nächste Schritt einer Lösung ist mir allerdings nicht klar.

Er lautet:

Das Produkt für k = 1 bis n(1+1/k)^k =(Produkt k=1 bis n-1(1+1/k)^k)(1+1/n)^n

=n^n/n!(1+1/n)^n nach Induktionsannahme.

Es gibt hier noch weitere Umformungen. Aber für mich ist wichtig das bereits geschilderte erstmal zu verstehen.

von

1 Antwort

0 Daumen

in dem Induktionsschritt wird folgendes gemacht

Produkt von n-1   mal der letzte Faktor, also (1 +1/n)^n ergibt das Produkt von n, ( es wird k durch n ersetzt) dieser Term wird dann entsprechen umgeformt bis er passt.

von

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community