Norm auf V Beispiel Anwendung

Question

Aufgabe:

Sei V=ℝxℝ und sei || . || :V -> ℝ definiert durch ||(x₁,x₂)|| = |x1| + |2x1 - 5x2|, für alle (x1,x2) Element aus V. Ist diese Abbildung eine Norm auf V? Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

Die Theorie und Voraussetzungen einer Norm verstehe ich. Ich weiß nur nicht, wie ich das bei dem Beispiel anwenden soll. Bitte um Hilfe.

Answer 1

\(    ||(x_1,x_2)|| = |x_1| + |2x_1 - 5x_2| \)

Prüfe die Normaxiome:

1. ||x|| = 0 ==>   x=0 .

Hier sind die x-e ja Paare, also so:

||(x,y)|| = 0 ==>   |x| + | 2x-5y| = 0

Die Summe zweier Beträge kann nur 0 sein,

wenn beide 0 sind, also folgt

|x|=0    und |2x-5y| = 0

Aus dem ersten folgt x=0 und beim 2. eingesetrzt

dann   | 0-5y| = 0 ==>     | -5y| = 0 ==> 5*|y| = 0

               ==>  |y| = 0   ==>    y=0.

Somit x=y=0 ==>  (x,y) = (0,0). Das ist die 0 von ℝxℝ

Also ist Normaxiom 1 schon mal erfüllt.

So ähnlich auch die anderen, dabei musst du

die Regeln über das Rechnen mit Beträgen anwenden.