Wie beweise ich den Satz für die komplexen Zahlen: i und −i sind die einzigen Lösungen der Gleichung z^2 + 1 = 0

Question

Es geht um folgenden Satz:

"i und −i sind die einzigen Lösungen der Gleichung z^2 + 1 = 0."

Ich verstehe den Beweis nicht. Folgendes habe ich mitgeschrieben:

"Sei z^2 = −1 für z = x + iy ⇒ x^2 − y ^2 = −1 und xy = 0.
Also x = 0 und y^2 = 1, d.h. y = ±1"

Was ich nicht verstehe, ist

a) wie man darauf kommt, dass xy = 0 sein muss, und

b) warum x=0 und y^2=1 sein müssen. Warum kann es nicht auch anders herum sein?

Answer 1

Rechne \((x+iy)^2\) aus und vergleiche das Ergebnis mit \(-1\), also Re=Re und Im=Im.

Comments

Danke für die Antwort!

als Realteil habe ich: x^2-y^2=-1

und als Imaginärteil: 2ixy=0

Deshalb ist xy=0, oder habe ich einen Denkfehler?

Ich verstehe leider immer noch nicht genau, wie der Prof dann in dieser Art Beweisführung geschlossen hat, dass x=0 und y=1 ist? Andersherum würde man doch trotzdem auf x^2-y^2=-1 kommen?

Ich stehe grad wahrscheinlich ziemlich auf dem Schlauch ^^

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Der Imaginärteil ist reell, ohne i. Aber sonst richtig. Nun x=0 oder y=0. Den Fall y=0 hat dein Prof um Kopf erledigt, schaffst du auch (notfalls schriftlich).

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Oh Gott stimmt, keine Ahnung, was ich mir da gedacht habe XD

Danke!

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Es ist \((i^2=-1)\), daher folgt mit der dritten binomischen Formel:$$z^2+1=0\implies z^2-i^2=0\implies(z+i)\cdot(z-i)=0$$

In jedem Körper gilt der Satz vom Nullprodukt, dass ein Produkt genau dann Null ist, wenn einer der beiden Faktoren Null ist:

$$z+i=0\implies z=-i$$$$z-i=0\implies z=i$$

Die beiden Lösungen der Gleichung \((z^2+1=0)\) sind daher \((z=\pm i)\).

Comments

Danke, das macht Sinn! Würde das als Beweis reichen?

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Was willst du noch mehr beweisen?

Den Satz vom Nullprodukt hattet ihr bestimmt in der Vorlesung beim Thema Körperaxiome.