Bestimmen Sie das weggefräste Volumen V.

Question

Aufgabe:

Ein zylinderförmiger Bleistift des Durchmessers 2 wird mit Fräswinkel 45 grad kegelförmig angespitzt. Bestimmen Sie das weggefräste Volumen V.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass man ein Koordinatenwechsel durchführen muss, wahrscheinlich in Zylinderkoordinaten. Wir haben den radius und den Winkel gegeben. Aber wie berechne ich durch den radius und den Winkel das weggefräste Volumen? Ich könnte theoretisch auch erst Volumen vom Zylinder und dann Volumen vom Kegel berechnen, aber ich hab nicht die Länge des Stifts gegeben.

Answer 1

Ich bin nicht sicher ob ich den Fräswinkel von 45 Grad richtig interpretiere, dass an der Spitze ein 90 Grad Winkel entsteht.

Für Bleistifte doch eher ungewöhnlich. Oder ist der Fräswinkel an der Spitze gemeint.

An der Spitze der 45 Grad Winkel.

V = h = pi·1^2·1/TAN(22.5°) - 1/3·pi·1^2·1/TAN(22.5°) = pi·(2·√2/3 + 2/3) = 5.056 mm³

An der Spitze der 90 Grad Winkel.

V = pi·1^2·1 - 1/3·pi·1^2·1 = 2/3·pi = 2.094 mm³

Comments

Wo entsteht der Fräswinkel? Wie ist der definiert?

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Deine Frage hat sich mit meiner überarbeitung der Antwort überschnitten. Normal würde ich denken an der Spitze entsteht der 90 Grad Winkel.

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Der Stift ist erstmal zylinderförmig. Wenn man einen Stift anspitzt wird da ein bestimmtes Volumen weggefräst. Ich denke mit den 45 Grad ist die Spitze gemeint, sonst macht es keinen Sinn. Aber der Titel der Aufgabe ist: "Anwendung Koordinatenwechsel" Ich denke man muss hier von den Kartesische Koordinaten zu den Zylinderkoordinaten wechseln und dann mit denen irgendwie das Volumen berechnen. Ich weiß halt nicht genau wie.

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"sonst macht es keinen Sinn"

Mathematisch macht das schon Sinn, weil es viel einfacher ist und du dich dann nicht noch mit anderem Krimskrams herumschlagen musst.

Ja. Du kannst hier auch über Zylinderkoordinaten integrieren. Wobei das ja in etwa so wäre wie, mit Kanonenkugeln auf Spatzen schließen.

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Wie kommst du auf diese Formel die du oben angegeben hast bei spitze 45 grad.

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Schau dir mal die Skizze und Rechnung in Moliets Antwort an.

Ich habe nur ersetzt: h = 1/TAN(22.5°)

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ja ich habs jetzt danke

Answer 2

Volumen Zylinder:

\(V_Z=r^2*π*h\)

Volumen Kegel:

\(V_K=\frac{1}{3}r^2*π*h\)

Volumen abgefrästes Stück: \(V_Z-V_K\)

\(V_Z-V_K=\frac{2}{3}r^2*π*h=\frac{2}{3}*1^2*π*2,41≈5,05VE\)