Für die Absatzmenge x (in ME) und dem Verkaufspreis p (in GE) lautet die Preis-Absatz Funktion
p(x)= 20 / (x-10) x∈(10,∞)
Sei y = p(x)
a) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion?
y = 20/(x-10) muss nach x aufgelöst werden.
|*Hauptnenner
(x - 10)*y = 20 |:y
x - 10 = 20/y |+10
x = 20/y + 10 |x und y umbenennen
(ist in der Mathematik üblich, hier wohl gefährlich)
Daher Umkehrfunktion: Absatzmenge y = 20/x + 10
Achtung: Hier steht jetzt y für die Absatzmenge (in ME) und x für den Verkaufspreis (in GE). Also nun: y∈(10,∞)
b) Wie verändert sich die Absatzmenge, wenn sich der Verkaufspreis von 1 GE pro ME um 1% erhöht?
x in Umkehrfunktion verändert sich auf 1.01x
Gesuchte Differenz: y(1.01x) - y(x) = 20/(1.01x) + 10 - (20/x + 10) =
(20 - 20*1.01)/(1.01x) = -0.2/(1.01x) = - 20/(101x)
c) Wie verändert sich die Absatzmenge, wenn sich der Verkaufspreis von 10 GE pro ME um 1% erhöht?
x ist Verkaufspreis pro GE
10x ist Verkaufspreis/10 GE
10*1.01x = 10.1x ist Verkaufspreis pro 10 GE nach Preiserhöhung
1.01x ist Verkaufspreis pro GE nach Preiserhöhung. Das kommt somit auf das Gleiche raus wie bei b), vorausgesetzt, man hat es mit Grosseinkäufern zu tun, die sowieso immer 10 GE kaufen.
y(1.01x) - y(x) = 20/(1.01x) + 10 - (20/x + 10) =
(20 - 20*1.01)/(1.01x) = -0.2/(1.01x) = - 20/(101x)
